Una semejanza entre 2 binomio identidad - ¿por qué?

Question

Deje $F$ ser cualquier campo (o incluso anillo). El siguiente poder formal de la serie de la identidad (es decir, la igualdad en $F[[x]]$) se cumple para cualquier $j \ge 0$:

$$(1-x)^{-j} = \sum_{i \ge 0} \binom{i +j -1}{i} x^i $$

El otro documento es la siguiente: vamos a $F_{p}$ ser un campo finito con $p$ elementos. El siguiente tiene para cada uno de los $1 \neq x \in F_{p}$:

$$(1-x)^{-j} = \sum_{i \ge 0}^{p-1} \binom{i +j }{i} x^i$$

Son las identidades equivalente o relacionados de alguna manera? Siento que la identidad de la primera es más formal y preocupaciones de la igualdad de los coeficientes (después de multiplicar ambos lados por $(1-x)^j$), sin embargo, la segunda identidad no es sólo formal: $x$ puede ser conectado en y a ambos lados de dar un elemento en el campo.

Cualquier conocimiento son bienvenidos - no estoy seguro de lo que estoy esperando.

Contexto: me he encontrado con la identidad de la primera - que es bastante útil, mientras que el estudio de la generación de funciones. He aprendido de la segunda identidad en un papel por Waterhouse sobre una matriz con los elementos de $a_{i,j} = \binom{i+j}{i, j}$.

Answer 1

Una buena pregunta. Como se observa en la primera serie es estrictamente formal sobre $F_p$, y realmente no podemos sustituir a cualquier cosa en lugar de $x$ no. Un $p$-ádico interpretación puede ser posible, pero yo no lo veo ahora.

La forma en que me mira, la segunda identidad es la fórmula binominal en el disfraz. Permítame explicar en que. En el campo de $F_p$ tenemos el familiar del teorema de Wilson: $$ (p-1)!=-1.$$ Vamos a corregir y entero $k$, $0\le k<p$. Por escrito de los factores $\ell >k$ $(p-1)!$ en la forma $\ell=-(p-\ell)$ podemos reescribir Wilson del teorema, afirmando que $$ k!(p-1-k)!(-1)^{p-1-k}=-1 \Leftrightarrow \frac{1}{(p-1-k)!}=(-1)^{p k}k!. $$

Si $x\neq1$, $(1-x)$ es un elemento no nulo del campo $F_p$, y podemos escribir para cualquier $j$ en el rango $0\le j<p$ $$ (1-x)^{j}=(1-x)^{p-1-j}=\sum_{i=0}^{p-1-j}(-1)^i{p-1-j\elegir i}x^i. $$

Con la consecuencia de Wilson del teorema podemos reescribir este coeficiente binomial como $$ {p-1-j\elegir i}=\frac{(p-1-j)!}{i!(p-1-i-j)!}=\frac{(-1)^{i+j}(i+j)!}{i! (-1)^j j!}=(-1)^i{i+j\elegir i}. $$ Poniendo estos dos bits juntos podemos conseguir $$ (1-x)^{j}=\sum_{i=0}^{p-1-j}{i+j\elegir i}x^i. $$ Es fácil ver que cuando se $i$ está en el rango de $p-j\le i <p$, el coeficiente binomial ${i+j\choose i}$ es divisible por $p$. La identidad que se enumeran de la siguiente manera a partir de este.

Me temo que esto fue sólo una(?) forma de derivar la fórmula de Waterhouse del papel. Lo siento, no puedo compruebe que el papel ahora.

Answer 2

El link es que tomar la identidad primera y global a todos los exponentes de $x$ que difieren en múltiplos $p-1$. La cambio por 1 corresponde a la fórmula de la suma de Coeficientes binomiales.

Pero no es más fácil que la otra prueba verificar los detalles.