Deje $D$ ser un dominio con el cociente de campo $K$.
El anillo de enteros con valores de polinomios se define como
$$
\operatorname{Int}(D) = \ {\f \en K[X] \mid f(D) \subconjunto D \,\}.
$$
Es sabido que si $D$ es un BF-dominio, entonces también lo es $\operatorname{Int}(D)$.
Si $D$ es un dominio de Dedekind con finito de residuos de campos, a continuación, $\operatorname{Int}(D)$ es un Prüfer de dominio (en particular integralmente cerrado), pero no satisface el ascendente de la cadena de condición en divisorial ideales. Por lo tanto no es Krull de dominio.
Así, por ejemplo, el lugar hermoso anillo de $\operatorname{Int}(\mathbb Z)$ es un no-Krull integralmente cerrado BF-dominio.
Ver el libro Entero con valores de Polinomios por Cahen y Chabert, en particular en su Capítulo VI, de fondo en valores enteros polinomios. (Pero tenga en cuenta que algunos de los resultados de la factorización de propiedades son obsoletas.)
Un ejemplo que, además, no Prüfer:
Este ejemplo puede ser adaptado para obtener un anillo que es (completamente) integralmente cerrado, no Krull, no Prüfer, y BF. Permítanme en primer lugar recordar cómo un montón de anillo de la teoría de las propiedades de comportarse para $\operatorname{Int}(D)$.
Si $\operatorname{Int}(D)$ es Prüfer, a continuación, $D$ es casi de dominio de Dedekind (todas las localizaciones de la máxima, equivalente a prime, los ideales son discretos valoración de los anillos) con todos los residuos de campos finitos. En particular, casi dominios de Dedekind se $1$-dimensiones Prüfer dominios.
Por otra parte, $\operatorname{Int}(D)$ es integralmente cerrado si y sólo si $D$ es. Del mismo modo, $\operatorname{Int}(D)$ es totalmente integralmente cerrado c.yo.c.) si y sólo si $D$ es. (Para Noetherian dominios, siendo c.yo.c. y siendo integralmente cerrado son equivalentes. En la no-Noetherian caso, siendo c.yo.c es un fuerte de la propiedad.)
Recuerdo un práctico anillo de la teoría de la caracterización de Krull dominios: Un dominio $D$ es Krull si y sólo si está totalmente integralmente cerrado y Mori de dominio (satisface el ascendente de la cadena de condición en divisorial ideales).
También es conocido (véase P.-J. Cahen, S. Gabelli, E. Houston, Mori dominios de valor entero polinomios, J. Puro. Appl. Álgebra, 153(1), 2000) $\operatorname{Int}(D)$ Mori implica $D$ Mori.
Así, para obtener $\operatorname{Int}(D)$ BF, integralmente cerrado, no Prüfer, no Krull queremos que $D$ es
- BF,
- integralmente cerrado,
- no, casi un dominio de Dedekind (para garantizar que no Prüfer),
- no.c.yo.c. o no Mori (para garantizar que no Krull).
En realidad, sería mejor si $D$ es incluso c.yo.c. pero no Mori.
Aquí hay dos posibilidades:
Tome $D=K[X,XY,XY^2,XY^3,\ldots] \subset K[X,Y]$. Por el ejercicio I. 3.14 en L. Fuchs, L. Salce, los Módulos a Través de la No-Noetherian Dominios, $D$ es integralmente cerrado pero no c.yo.c. Es fácil ver que es de 2 dimensiones y BF.
Por cierto, $D=\operatorname{Int}(\mathbb Z)$ es c.yo.c., no Krull, de 2 dimensiones y BF. Así
$$
\operatorname{Int}(\operatorname{Int}(\mathbb Z))
$$
no es Krull, no Prüfer, c.yo.c., BF. No he visto este anillo antes; es más divertido que esto funciona! Usted puede reemplazar, de hecho, $\mathbb Z$ por cualquier dominio de Dedekind con finito de residuos campos y obtener el mismo resultado.
Edit: lo siguiente puede ser un ejemplo más sencillo. Si $D$ es integralmente cerrado, no Krull, BF lo es $D[X]$. ($D[X]$ es Krull iff $D$ es Krull.) $D[X]$ además puede no ser Prüfer ($D[X]$ es Prüfer iff $D$ es un campo). Así, por ejemplo, $\operatorname{Int}(\mathbb Z)[X]$ también funciona. Por desgracia, yo no sé lo suficiente acerca de valores enteros polinomios para ver rápidamente si $\operatorname{Int}(\mathbb Z)[X]$ es un buen sub-anillo de $\operatorname{Int}(\operatorname{Int}(\mathbb Z))$ o si son iguales. (Si un dominio $D$ es un punto de intersección de las localizaciones en el primer ideales con infinita de residuos de campos, a continuación, $\operatorname{Int}(D)=D[X]$ es trivial.)
