Sólo puedo responder a la pregunta de funciones continuas, pero tengo la esperanza de que este es un comienzo. Como mencioné en mi comentario, tengo la sospecha de que el enunciado de su pregunta debe ser modificado: yo esperaría $N$ ser medibles en menos de Borel medible funciones y si $f$ es medible y de variación acotada, entonces creo $\int N$ debe dar el total de la variación de la continua parte de $f$ en el Lebesgue de descomposición. Tal vez un refinamiento de la tesis a continuación se obtiene el resultado general de las funciones de variación acotada, pero sin duda, yo no veo cómo hacerlo en el momento.
El argumento que presentan es de Banach, como se da en el Sur les lignes rectifiables et les superficies dont l'aire est finie, Fondo. De matemáticas. 7 (1925), 225-236 (Théorèmes 1 y 2), que reproduzco aquí para la comodidad de los lectores que no leen en francés.
Deje $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ ser una función continua y para $t \in \mathbb{R}$ deje $N(t) = \# f^{-1}(t)$.
a) La función de $t \mapsto N(t)$ es medible.
Para $k \geq 1$ partición del intervalo $[a,b]$ a $2^k$ intervalos de $I_{1}^{(k)},\ldots,I_{2^k}^{(k)}$ de la longitud de la $2^{-k}(b-a)$. Para $y \in \mathbb{R}$ $1 \leq n \leq 2^k$ vamos
$$
L_{n}^{(k)}(t) = \begin{cases} 1, & \text{if } t \in f(I_{n}^{(k)}), \\ 0, & \text{otherwise.} \end{casos}
$$
Tenga en cuenta que $t \mapsto L_{n}^{(k)}(t)$ es mensurable debido a que la mayoría de los dos puntos de discontinuidad, por lo tanto la función
$$
N_k(t) = L_{1}^{(k)}(t) + \cdots + L_{2^k}^{(k)}(t)
$$
también es medible. Tenga en cuenta que $N_k(t)$ simplemente con que cuenta cómo muchos de los intervalos de $I_{1}^{(k)},\ldots,I_{2^k}^{(k)}$ la función de $f$ alcanza el valor de $t$ al menos una vez. Por lo tanto, la secuencia de $(N_k)_{k=1}^\infty$ de funciones medibles es creciente y por lo tanto el límite pointwise
$$
\widetilde{N}(t) = \lim_{k\to\infty} N_k(t)
$$
existe y es una función medible de $t$. Observar que, por definición, $N(t) \geq N_k(t)$ todos los $k$, lo $N(t) \geq \widetilde{N}(t)$. Deje que los estados unidos argumentan que el $\widetilde{N}(t) \geq N(t)$. Deje $m$ ser un entero tal que $N(t) \geq m$. Entonces existen puntos de $a \leq x_1 \lt \cdots \lt x_m \leq b$ tal que $f(x_i) = t$. Si $k$ es tan grande que $\frac{b-a}{2^k} \lt \min{\{x_{i+1} - x_i\,:\,i=1,\dots,m-1\}}$$N_k(t) \geq m$. Esta muestra $\widetilde{N}(t) \geq N(t)$ e lo $\widetilde{N}(t) = N(t)$, estableciendo la mensurabilidad.
Nota: Desde $L_{n}^{(k)}$ sólo no tiene más de dos discontinuidades, es en la mayoría de los de la primera clase de Baire, por lo tanto también lo son las $N_k$ y por lo tanto su pointwise límite de $N$ es de Baire clase en la mayoría de los dos.
b) Vamos a $f$ ser una función continua. A continuación, $N$ es integrable si y sólo si $f$ es de variación acotada y que en caso de $\operatorname{Var}_{a}^b(f) = \int N$.
Mantener las anotaciones de la parte a).
Deje $M_{n}^{(k)} = \sup_{x \in I_{n}^{(k)}} f(x)$$m_{n}^{(k)} = \inf_{x \in I_{n}^{(k)}} f(x)$. Observe que $\int L_{n}^{(k)} = M_{n}^{(k)} - m_{n}^{(k)}$, de modo que $\int N_k = \sum_{n=1}^{2^k} M_{n}^{(k)} - m_{n}^{(k)}$. Si $f$ es de variación acotada, a continuación, esta última suma es acotada arriba por $\operatorname{Var}_{a}^b(f)$, de modo que la monotonía teorema de convergencia implica que
$$
\int N = \lim_{k \to \infty} \int N_k \leq \operatorname{Var}_{a}^b(f).
$$
Por otro lado, si $f$ es continua (de variación acotada o no), no es difícil mostrar que para cada $c \lt \operatorname{Var}_{a}^b(f)$ hay $\delta \gt 0$ tal que para todas las particiones $a = a_0 \lt a_1 \lt \cdots \lt a_n = b$ $a_{m} - a_{m-1} \lt \delta$ tenemos $\sum_{m=1}^n \lvert f(a_{m}) - f(a_{m-1})\rvert \geq c$. Por lo tanto, hemos de $k$ lo suficientemente grande que $\sum_{n=1}^{2^k} M_{n}^{(k)} - m_{n}^{(k)} \geq c$ y a partir de esto llegamos a la conclusión de que $\int N \geq \operatorname{Var}_{a}^b(f)$ si éste es finito.
Por el contrario, supongamos que $N$ es integrable. Desde $N \geq N_k$ tenemos que $\sum_{n=1}^{2^k} M_{n}^{(k)} - m_{n}^{(k)} = \int N_k \leq \int N \lt \infty$ todos los $k$, y esto implica que $\operatorname{Var}_{a}^b(f) \leq \int N$, como queríamos.
c) Si $f$ es continua y acotada variación, a continuación, $N(t) \lt \infty$ en casi todas partes.
Esto es claro, como $\int N = \operatorname{Var}_{a}^b(f) \lt \infty$ implica que el $N$ puede ser infinito sólo en un conjunto de medida cero.
Añadido: Ver también esta relacionada con la pregunta donde la aceptan respuesta menciona un documento que contiene las condiciones necesarias y suficientes para que una función medible $N: \mathbb{R} \to \mathbb{N} \cup \{\aleph_0, \mathfrak{c}\}$ a ser el de Banach indicatrix de una función continua $f: [a,b] \to \mathbb{R}$.
