Para qué valores de t, la solución de esta ecuación existen

Question

Necesito ayuda en la búsqueda de la máxima solución para el problema: $$ \cases {{\dot{x} = x^2+t}\\{x(0)=0}}$$ Sé que debido a $x(1) \geq \frac{1}{2}$ y que cada solución de $x(t)$ del problema es mayor que o igual a $\tan (t+x(1) - 1)$ da $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow \frac{\pi +1}{2}}x(t) = \infty$$ Es esto suficiente o puedo apretar esto?
¿Qué debo hacer con negativo $t$'s ?

(También he tratado de acotar el valor absoluto de la integral de la ecuación y el uso Gronwell desigualdad yo.e: $$\lvert x \left( t\right)\rvert = \rvert \int_{0}^{t}x^2+t\ dt\lvert < something$$ así como $$|\int_0 ^t \frac{dx}{x^2}| = |\int_0 ^ t 1+\frac{t}{x^2}dt|< anything$$, pero sin éxito.)

Otro intento con Pickard iteraciones:
$\varphi_{0} = 0$ $\varphi_{n} = \int_0 ^t \varphi^2_{n-1}(s) + s\ ds$ , después de algunos cálculos, (y necesito ayuda en la verificación de la corrección) tengo $$\varphi_n(t) = \sum _{i=0}^n \frac{t^{a_i}}{a_i \cdot {a_{i-1}^2 \cdot... \cdot {a_{0}^{\log_2{i}}}}} = \frac{t^{a_n}}{a_n \cdot a_{n-1}^2 \cdot ... \cdot a_{0}^{\log n}} + O( \frac{t^{a_{n-1}}}{{a_{n-1}}^{n-1}} )$$

Al $a_n = 3\cdot 2^{n-1}-1$

Mediante la prueba de razón - la serie diverge si t>1, pero $ \frac{1}{2} \leq x(1) \leq \tan(1)$ (líneas anteriores) da que la solución puede ser extendido por $t$'s más grande que 1. ¿Qué está pasando Aquí?

Answer 1

La solución analítica dada a continuación implica las funciones de Bessel. Los poderes de la $t$ no son enteros. Así, la fórmula para $x(t)$ es válido sólo en el caso de $t\geq 0$.

$x(t)$ es finito, excepto en particular, los valores de $t=\left(\frac{3}{2}j_{-1/3}(n)\right)^{2/3}$ donde $j_{-1/3}(n)$ th es la n-ésima raíz de la función de Bessel de orden $-1/3$.

Por ejemplo, a partir de $t=0$ $t$ disminuyendo, $x(t)$ blow-up en $t=\left(\frac{3}{2}j_{-1/3}(1)\right)^{2/3}\simeq 1.86635086$

Un estudio similar fue realizado en el caso de $t<0$ (además, al final del post). La fórmula es similar, pero con "modificado funciones de Bessel" en lugar de "funciones de Bessel". Para cualquier $t<0$ la función $x(t)$ es continuo, sin blow-up.