Lema de tipo Yoneda para composiciones sobre el homfuntor

Question

El lema de Yoneda básicamente reformula una propiedad de rigidez de las transformaciones naturales a partir de un functor hom covariante: Una transformación natural $\psi : \mathsf{Hom}(Z,-)\Rightarrow F$ está determinada por la imagen de la identidad $1_Z$ por $\psi _Z$

Me he dado cuenta de una rigidez similar de las transformaciones naturales, esta vez fuera del functor(es) de cadena singular $S_n=\mathbb Z \circ \mathsf{Hom}(\Delta ^n,-)$ donde se cumple la misma afirmación. Esta rigidez es la base de los modelos acíclicos, ya que reduce el problema de la construcción de homotopías en cadena a la construcción de unos pocos homomorfismos.

Mi pregunta es muy sencilla:

¿Existe una caracterización, o al menos una condición general suficiente condición sobre el functor $G$ debajo de tal manera que la afirmación sea válida?

Declaración. Una transformación natural $\psi : G\circ\mathsf{Hom}(Z,-)\Rightarrow F$ está determinada por la imagen de la identidad $1_{GZ}$ por $\psi _Z$

Para completar, aquí está el cuadrado de naturalidad: $$\require{AMScd} \begin{CD} G\circ \mathsf{Hom}(Z,Z) @>{\psi _Z}>> FZ\\ @V{G\circ \mathsf{Hom}(Z,f)}VV @VV{F(f)}V\\ G\circ \mathsf{Hom}(Z,B) @>>{\psi _B}> FB \end{CD}$$

Answer 1

Como sugirió el OP, pongo mis comentarios como respuesta:

¿Qué se entiende por "imagen de la identidad"? $1_{GZ}$ por $\psi_Z$ "? $\psi_Z$ es un morfismo de la forma $G(Hom(Z,Z))\rightarrow F(Z)$ en el codominio de G resp. F. En cambio, se podría preguntar para qué funtores G tales transformaciones naturales están determinadas por su componente en Z.

En ese caso, una condición suficiente, que también se cumple en el caso del functor de cadena singular, es la propiedad de $G$ que tiene una unión a la derecha :

Dejemos que $\phi$ y $\psi$ sean dos transformaciones naturales de la forma de la pregunta con la misma componente en Z y H un adjunto derecho para el functor G. Partiendo de $\phi$ y $\psi$ Utilizaremos la contigüidad para obtener dos transformaciones naturales $Hom(Z,\_)\implies H\circ F$ que tienen la misma componente en Z y, por tanto, coinciden según Yoneda. Por último, utilice la contigüidad hacia atrás para concluir que $\psi$ y $\phi$ tienen que ser iguales.