La integral del vector de curvatura media sobre una superficie cerrada sumergida

Question

Supongamos que tenemos un circuito cerrado, orientable, de superficie lisa $\Sigma$ sumerge suavemente en $\mathbb R^n$ través $f:\Sigma \rightarrow \mathbb R^n$. Imponer una estructura de Riemann en $\Sigma$ tomando $g_{ij} = \partial_if\cdot\partial_jf$, la métrica inducida en $\Sigma$ por la inmersión $f$. El producto interior aquí es sólo la costumbre producto interior de $\mathbb R^n$.

La media de curvatura vector es $$ \vec H = \Delta f, $$ donde $\Delta$ es la de Laplace-Beltrami operador en $(\Sigma,g)$.

Considere la integral de la media de la curvatura de vector sobre la superficie de la $\Sigma$: $$ \int_\Sigma \vec H\ d\mu. $$ Parece bastante plausible que esto debe ser cero en el caso de que $\Sigma$ es cerrado, incrustado y tiene un solo codimension. Es esto conocido? Es fácil demostrar?

Si no es cero en la generalidad de arriba, como una superficie inmerso en $\mathbb R^n$, es igual a alguna expresión que implique topológica de la información de $\Sigma$?

Answer 1

El resultado es la verdad para arbitrario codimensions. Ver Lema 2.1 de este documento. Una forma muy rápida de la prueba tomada de dicho documento:

Deje $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$ ser algunos inmerso submanifold. Deje $X$ ser un campo de vectores en $\mathbb{R}^n$. Podemos descomponer localmente $X = X_t + X_n$ la tangencial y normal componens a $\Sigma$. Por definición tenemos que para $Y$ tangente a $\Sigma$

$$ \partial_Y X_t = \nabla_Y X_t + h(X_t,Y) $$

y

$$ \partial_Y X_n = - A_{X_n}(Y) + \nabla^\perp_Y X_n $$

donde $\nabla$ es la inducida por Levi-Civita de conexión, y $\nabla^\perp$ es la inducida por la conexión normal. $h$ es la segunda forma fundamental y $A$ es el Weingarten mapa asociado a $X_n$: $\langle Z, A_{X_n}(Y)\rangle = \langle - h(Y,Z), X_n\rangle$

Supongamos $X$ es un parellel campo de vectores en $\mathbb{R}^n$. $\partial_Y X = 0$. Esto implica que $\nabla_Y X_t = - A_{X_n}(Y)$. Utilizando la definición de la Weingarten mapa, tenemos que el $g$-seguimiento de $\nabla X_t = \operatorname{div} X_t$ es igual a $\langle H, X\rangle$. Así tenemos que si $\Sigma$ es un colector cerrado, por el teorema de la divergencia, $\int_\Sigma \langle H,X\rangle d\mu = 0$ si $X$ es un paralelo, por lo tanto constante, el campo de vectores en $\mathbb{R}^n$.

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Uno podría también tenga en cuenta lo siguiente: mientras que la noción de $\int_\Sigma H d\mu$ no está bien definida para $\Sigma$ isométricamente inmerso en una arbitraria de Riemann colector $M$, debido a que no hay canónica de espacio vectorial en el que el $H$, evaluado en diferentes puntos en $\Sigma$, todo en vivo. Pero si en lugar de considerar la versión donde en lugar tratamos $\int_\Sigma \langle H,X\rangle d\mu$, vemos que para cualquier $X$ un campo de vectores en $M$ define a lo largo de $\Sigma$ tal que $X$ es paralelo a lo largo de $\Sigma$, tenemos la misma conclusión.