Deje $s$ ser el espacio de todas las funciones $x:\mathbb{N}\to \mathbb{F}$ donde $\mathbb{F}$ es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Definir la suma y la multiplicación escalar de las componentes de modo que $s$ es espacio vectorial. Si $x, y\in s$, definir $$ d(x,y) := \sum_{n=0}^\infty 2^{n}\frac{|x(n)-y(n)|}{1+|x(n)-y(n)|}. $$ A continuación, $d$ es una métrica en $s$, y de hecho hace $s$ un espacio vectorial topológico. Ahora estoy tratando de demostrar que bajo esta métrica, $s$ se hace completa. Un intento de realizar una prueba para hacer de alguna manera $\mathbb{N}$ a de un número finito de medir el espacio, por lo que la convergencia y ser de Cauchy son lo mismo que ser convergente y de Cauchy en la medida respectivamente. Pero también quiero probar y probar sin tener que recurrir a cualquier teoría de la medida.
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Supongamos que $\langle x_n:n \in \omega \rangle$ es una secuencia de Cauchy en $s$. El primer paso es mostrar que $\langle x_n:n \in \omega \rangle$ converge pointwise, que se puede hacer demostrando que cada una de las coordenadas de las secuencias de $\langle x_n(k):k\in\omega\rangle$ es de Cauchy en $\mathbb{F}$.
Para cada una de las $\epsilon > 0$ hay un $n_\epsilon \in \omega$ tal que $d(x_m,x_n) < \epsilon$ siempre $m,n \ge n_\epsilon$. Entonces para cualquier $k \in \omega$ hemos $$2^{-k}\frac{|x_m(k)-x_n(k)|}{1+|x_m(k)-x_n(k)|} \le d(x_m,x_n) < \epsilon$$ whenever $m,n \ge n_\epsilon$. This inequality can be rewritten $$|x_m(k)-x_n(k)| < 2^k\epsilon (1 + |x_m(k)-x_n(k)|),$$ or $$(1-2^k\epsilon)|x_m(k)-x_n(k)| < 2^k\epsilon.$$
Ahora fix $k \in \omega$. Si $\epsilon$ es el elegido para ser menos de $2^{-k}$, por lo que el $1-2^k\epsilon > 0$, tenemos $$|x_m(k)-x_n(k)| < \frac{2^k\epsilon}{1-2^k\epsilon} = \frac{1}{1-2^k\epsilon}-1$$ whenever $m,n \ge n_\epsilon$. Clearly $\lim\limits_{\epsilon\to 0^+} \left(\frac{1}{1-2^k\epsilon}-1\right) = 0$, so for each $k\in\omega$, $\langle x_n(k):n\in\omega\rangle$ is a Cauchy sequence in $\mathbb{F}$. $\mathbb{F}$ is complete, so each $\langle x_n(k):n\in\omega\rangle$ converges to some $x(k) \in \mathbb{F}$. Now you need only show that $\langle x_n:n \in \omega \rangle$ converges in $s$ to the sequence $x:\omega\to\mathbb{F}:k \mapsto x(k)$, que es sólo una cuestión de mantener un seguimiento de epsilons. (A parar aquí si quieres probar por su cuenta.)
Tenemos $$d(x_n,x) = \sum\limits_{k\ge 0}2^{-k}\frac{|x_n(k)-x(k)|}{1+|x_n(k)-x(k)|}.$$ Fix $\epsilon > 0$, and choose $m_0 \en \omega$ big enough so that $2^{-m_0} < \epsilon/2$. Then $$\sum\limits_{k>m_0}2^{-k}\frac{|x_n(k)-x(k)|}{1+|x_n(k)-x(k)|} < \sum\limits_{k>m_0}2^{-k} = 2^{-m_0} < \epsilon/2.$$ Finally, choose $m_1 \en \omega$ big enough so that for each $k \le m_0$, $$|x_n(k)-x(k)|< \frac{\epsilon}{2(m_0+1)}$$ whenever $n \ge m_1$. Then $$\begin{align*} d(x_n,x) &= \sum\limits_{k=0}^{m_0}\frac{2^{-k}}{1+|x_n(k)-x(k)|}|x_n(k)-x(k)|+\sum\limits_{k>m_0}2^{-k}\frac{|x_n(k)-x(k)|}{1+|x_n(k)-x(k)|}\\ &< \sum\limits_{k=0}^{m_0}|x_n(k)-x(k)|+\epsilon/2\\ &< (m_0+1)\frac{\epsilon}{2(m_0+1)} + \frac{\epsilon}{2}\\ &= \epsilon \end{align*}$$ whenever $n > m_1$, and hence $\langle x_n:n \in \omega \rangle \a x$ in $s$.
