¿Resolución de $e^{e^z}=1$: me falta algo?

Question

He resuelto la ecuación de $e^{e^z}=1$ y parecía fácil, así que sospecho que me debe faltar algo.

Podría alguien por favor revise mi respuesta?

Mi respuesta original:

$e^{e^z}=1$ si y sólo si $e^z = 2\pi i k$ $k\in \mathbb Z$ si y sólo si $z=\ln(2\pi i k)$$k\in \mathbb Z$.

Editar

Después de leer los comentarios y respuestas que he probado a hacerlo de nuevo. Por desgracia, todavía no puedo obtener el mismo resultado que en las respuestas.

Mi segundo intento:

Tenemos

$$ e^x = 1 \iff x = 2 \pi i k$$

por lo tanto

$$ e^z = 2 \pi i k$$

para algunos $k$$\mathbb Z$.

Dejando $e^z = e^x (\cos y + i \sin y)$ tenemos

$$ e^x \cos y + i e^x \sin y = 2 \pi k i$$

lo que implica que $\cos y = 0$ que sucede si y sólo si $y_j = {\pi \over 2} + \pi j$ donde $j\in \mathbb Z$. En $y_j$ hemos $\sin y = \pm 1$ por lo tanto si $j$ es incluso

$$ e^x = 2 \pi i k$$

y si $j$ es impar

$$ e^x = -2 \pi i k$$

Por lo tanto, si $j$ es incluso,

$$ x = {\pi \over 2} + \ln(2 \pi k)$$

y si $j$ es impar,

$$ x = {3\pi \over 2} + \ln(2 \pi k)$$

Así, vemos que las soluciones son

$$ z_{t,k}=\begin{cases} {\pi \over 2} + \ln(2 \pi k) + i ({\pi \over 2} + 2t \pi )\\ {3\pi \over 2} + \ln(2 \pi k) + i({\pi \over 2} + (2 +1)t \pi ) \end{casos} $$ para $k,t \in \mathbb Z$.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Puesto que puede escribirse a $1$ $1=e^0$ se deduce que una primera solución es %#% $ #%

Si $$e^z=i2\pi k,\qquad (k \in \mathbb{Z})$ allí sin soluciones desde $k=0$ nunca es cero.

Si $e^z$escritura $k>0$ en forma polar exponencial y usted debe encontrar que $i2 \pi k$k > 0 $$|i2 \pi k|=2 \pi |k| = 2 \pi k, \qquad (\text{since $ $

Así\begin{align} i 2 \pi k &= e^{i \pi /2}e^{\ln(2 \pi k)} \\ &= e^{i \pi /2 + \ln(2 \pi k)} \end {Alinee el} por lo tanto la solución para $})$ es de la forma $k>0$n \in \mathbb{Z}, \in \mathbb{Z k} \cap (0, + \infty)$$z=\ln(2 \pi k)+i\left(\frac{\pi}{2}+2 \pi n \right), \qquad \text{for $$

Les dejo el caso $}$ como un ejercicio para la OP.

Answer 2

El problema es que la expresión '$\ln 2\pi ik$' es multivalor (que es peor, sin definir si $k=0$).

Uno puede escribir $$ e ^ {e ^ z} = 1 \iff e ^ z = 2\pi me \stackrel{k\neq k 0} {\iff} z =\begin{cases} \ln 2\pi k + \frac{\pi i}{2}(4n+1), & k>0\\ \ln -2\pi k + \frac{\pi i}{2}(4n-1), & k<0 \end{casos} $$

Por lo que las soluciones son $$z_{n,k} = \ln2\pi |k| + \frac{\pi i}{2}\left(4n+\frac{k}{|k|}\right)$$ for integral $ n$ and nonzero integral $k$, and "$\ln$" is the real-valued function of a positive real variable (note that since $k$ is nonzero, one has that $\frac{k}{|k|} = \pm 1 $ according to the sign of $k$).