#implicará:

Question

Asumir $E \subset [0, 2\pi]$ tiene medida positiva. Que $a_n$ y $b_n$ ser números verdaderos tales que $$\lim_{n \to \infty} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)] =0$$for all $x \in E $. How do I see that$% $ $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 0?$

Answer 1

En primer lugar mostramos que $a_n$ $b_n$ están delimitadas en el fin de aplicar el teorema de convergencia dominada por debajo. Supongamos $|a_n|$ es ilimitado. Por el bien del argumento, tome la larga donde $|a_{n_k}| \to \infty$ y cámbiele el nombre a $a_n$. Por la densidad de $nx \mod 2 \pi$ $[0, 2 \pi]$ $x$ irracional, siempre podemos escoger un $n$ tal que $|\cos nx -1 | < \epsilon$$|\sin nx| < 1/|b_n|$. Si $|b_n| \neq 0$ sólo un número finito de veces, entonces tenemos $a_n \cos(n x) = a_n \cos(nx) + b_n \sin (nx)$ no converge a cero. De lo contrario,

$$ a_{n_k} \cos(n_kx) + b_{n_k} \sin (n_k x) = a_{n_k} (1 + \epsilon_{n_k}) + b_{n_k} \epsilon^*_{n_k}$$

con $|\epsilon^*_{n_k} b_{n_k}| < 1$. A partir de esto podemos concluir que la expresión no converge a cero. Un argumento similar con mostrar que $b_n$ debe estar acotada.

La plaza de la expresión, el uso de $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, e integrar más de $[0, 2 \pi]$ para obtener $$\int_0^{2 \pi} [a_n^2+b_n^2 + a_nb_n \sin (2n x)] dx = 2 \pi( a_n^2+b_n^2)$$ desde $\int_0^{2 \pi} \sin (2n x) dx = 0 $. Ahora se dan cuenta de que tomar el límite de $n \to \infty$ en ambos lados, se puede pasar el límite a través de la integral por el teorema de convergencia dominada. Esto significa $a_n^2+b_n^2 \to 0$, del que se desprende que $a_n,b_n \to 0$.

Answer 2

Es más conveniente para usar en lugar de la condición: $$f_n(x) = c_n e^{i n x} + d_n e^{-i n x}\to 0$$ Para $\epsilon > 0$ $n$ natural definir $$E^{\epsilon}_n=\{ x \in E \ | \ |f_m(x)| < \epsilon \textrm{ for all } m \ge n \}$$ Tenga en cuenta que para cada $\epsilon> 0 $ $E$ es el aumento de la unión de los subconjuntos $E_n^{\epsilon}$. Por lo tanto, para cada $\epsilon > 0$ existe $n_{\epsilon}$, de modo que $\mu ( E^{\epsilon}_{n_\epsilon}) > \frac{1}{2}\mu (E)$. Vamos a utilizar esto más adelante

Recordar que tenemos $|f_m(x) | < \epsilon$ todos los $x \in E^{\epsilon}_n$$m \ge n$. Por lo tanto, también tenemos $$|e^{\pm i m x} \cdot f_m (x)|< \epsilon$$ Integrating over $E^{\epsilon}_n$ obtenemos $$| \mu(E^{\epsilon}_n) \cdot c_m + \int_{E^{\epsilon}_n} e^{-2 i m x} d x\cdot d_m| < \epsilon \mu(E^{\epsilon}_n) \\ |\int_{E^{\epsilon}_n} e^{2 me m x} d x \cdot c_m + \mu(E^{\epsilon}_n) \cdot d_m | < \epsilon \mu(E^{\epsilon}_n)$$

Arreglar $\epsilon > 0$ y algunos $n \ge n_{\epsilon}$ ( de modo que $\mu(E^{\epsilon}_n) > \frac{1}{2} \mu(E)\ $). Por la de Riemann-Lebesgue lema tenemos

$\int_{E_n^{\epsilon}} e^{\pm i m x} d x \to 0$ $m \to \infty$

A partir de lo anterior, podemos concluir $\limsup |c_m| \le \epsilon$, $\limsup |d_m| \le \epsilon$.

Desde $\epsilon> 0 $ fue arbitraria llegamos $\lim c_n = \lim d_n = 0$