Para un n-gon, ¿cuántos polígonos fundamentales hay?

Question

Estoy volviendo a aprender las construcciones topológicas y me encontré con polígonos fundamentales como una forma de describir ciertas topologías. Tengo una comprensión intuitiva, pero cualquier comprensión matemática se quedó atrás en una clase universitaria de hace 20 años.

Los ejemplos dan un puñado de topologías resultantes, todas basadas en un polígono fundamental de cuatro lados: esfera, banda de Möbius, botella de Klein, toro, plano proyectivo real. Tengo tres preguntas.

1. ¿Existen otras topologías para un 4-gon?

2. En términos más generales, ¿cuántas topologías se pueden construir de esta manera para un n-gon?

3. ¿Y si no se permiten las discontinuidades? (No conozco el término adecuado para esto, pero por ejemplo etiquetar tres aristas "A" lo provocaría, al igual que etiquetar dos aristas adyacentes A pero con flechas en la misma dirección).

Answer 1

Para el 4-gon, tienes exactamente estos cuatro casos. La razón es que no permitimos las discontinuidades, es decir, nos interesan las superficies = las multiplicidades bidimensionales: En la superficie, los lados (identificados) se convierten en una única curva que localmente se parece a la $x$ -eje dentro de $\mathbb R^2$ es decir, debe haber exactamente dos lados (correspondientes a los medios planos inferior y superior). Esto significa que debe haber exactamente dos aristas etiquetadas como "A", etc. Nos puede permiten que las dos aristas A sean adyacentes con direcciones "incorrectas". Pero estos casos se resuelven mejor dividiendo las dos aristas por la mitad (y tener un $(n+2)-gono "legal"). De hecho, se puede observar que el plano proyectivo puede ser considerado como procedente de un 2-gon "ilegal" de esta manera (mientras que la esfera también podría ser considerada como un 2-gon pegado) Con estas restricciones, sólo tenemos unas pocas posibilidades combinatorias: Si las aristas "rojas" son adyacentes, obtenemos necesariamente la esfera. Si no son adyacentes, tenemos una de las tres situaciones restantes: Ambos pares de colores son "paralelos", o ambos son "antiparalelos" o tenemos un caso mixto.

Podemos derivar un simple límite superior para las topologías posiblemente construidas a partir del $2n$ -gon: Hay $(2n-1)\cdot(2n-3)\cdot\ldots\cdot3\cdot1=\frac{(2n)!}{2^nn!}$ posibilidades de dividir el $2n$ aristas en pares (fijar la primera, seleccionar su pareja entre el resto, fijar la primera disponible, seleccionar su pareja entre el resto, etc.). Para cada una de estas particiones, podemos etiquetar cada par como "paralelo" o "antiparalelo". De este modo, acabamos con $\frac{(2n)!}{n!}$ como límite superior. Obsérvese que el número correcto es mucho menor (por ejemplo, obtenemos $\frac{4!}{2!}=12$ en lugar de $4$ para el 4-gon):

• Si las aristas adyacentes tienen la misma etiqueta, sólo se permite una orientación
• La rotación del polígono produce la misma topología (la rotación induce un homeomorfismo)
• Algunas de las topologías podrían obtenerse de un $2k$ -gon con $k<n$ .