Deje $_k n$ denotar $n!!\cdots !$ $k$ factoriales.
Vamos a mostrar que, dado $n \ge 3$ y $k \ge 1$, $_k n$ se encuentra entre el$^kn$$^{k+1} n$.
La clave de las desigualdades que vamos a hacer uso de son
$(n/e)^n < n! < n^{n-1}$ $n \ge 3$.
La izquierda de la desigualdad se sigue de una Suma de Riemann argumento. El derecho de la desigualdad es evidente a partir de $n * (n-1) \cdots * 2 < n * n \cdots n$.
Parte I: Dado $n \ge 3$, $_k n > \ ^kn$
Prueba por inducción:
Claramente cierto para $k=1$.
Para $k=2$, $_2 n = n!! \ge (2n)! > n^n = \ ^2n$.
Ahora, suponga $_k n > \ ^kn$ algunos $k \ge 2$. Entonces
$_{k+1} n = (_k n)! > (^k n)! > (\frac{^k n}{e})^{^k n} > n^{^k n} = \ ^{k+1}n$.
Parte II: Dado $n \ge 3$, $_k n < {^{k+1} n}$.
Vamos a probar el siguiente lema:
Lema: Dado $n \ge 3$, $_k n < \frac{^{k+1} n}{^k n}$
Prueba por inducción:
Para$k=1$,$_1 n = n! < n^{n-1} = \frac{^2 n}{^1 n}$.
Dado $_k n < \frac{^{k+1} n}{^kn}$, tenemos
$_{k+1} n = (_k n)! < (\frac{^{k+1} n}{^kn})! < (\frac{^{k+1} n}{^kn})^{\frac{^{k+1} n}{^kn}} = \frac{(^{k+1} n)^{\frac{^{k+1} n}{^k n}}}{(^{k} n)^{\frac{^{k+1} n}{^k n}}} < \frac{(n^{^k n})^{\frac{^{k+1} n}{^k n}}}{n^{\frac{^{k+1} n}{^k n}}} < \frac{n ^{^{k+1} n}}{n^{^k n}} = \ \frac{^{k+2} n}{^{k+1} n}$.
Por lo tanto:
Para $n \ge 3$ y $k \ge 1$, $^k n < _k n < {^{k+1} n}$.
