Desde el punto de vista de la geometría compleja no es una estimación parcial de la jerarquía de compacto complejo colector; estos son los proyectivos, Moishezon, Kähler y Fujiki colectores.
Un pequeño complejo colector de $X$ es proyectivo si puede ser incorporado en un espacio proyectivo $\mathbb P^N$. Por Serre de la GAGA teorema esto significa que es algebraico, es decir, puede ser definido como el cero, el locus de un número finito de polinomios. En diffeo-términos geométricos, el colector es proyectivo si y sólo si se admite un holomorphic línea bundle $L \to X$ con un positivamente curva hermitian métrica. Este es Kodaira la incrustación de teorema.
Una clase más amplia de los colectores son los Kähler colectores. Estas son las $X$ que admiten un hermitian métrica $h$ (en la tangente bundle), cuya Kähler está cerrado. Esto significa que el liso $(1,1)$forma $\omega = - Im h$ $d$- cerrado, o $d \omega = 0$. Cualquier proyectiva colector de Kähler, ya que la curvatura de la forma de un positivamente curva métrica en una línea de paquete define un Kähler métrica. El recíproco es falso; un Kähler colector es proyectivo si y sólo si se admite un Kähler métrica $\omega$ cuyo cohomology de clase es integral (en cuyo caso se puede encontrar una línea de paquete en la $X$ de manera tal que la métrica es la curvatura de la forma de un positivo hermitian métrica por un lexema de André Weil).
Un Moishezon colector de ahora puede ser caracterizado como una modificación de un proyectiva colector, de modo que existe una genéricamente 1-1 meromorphic mapa de $X \to Y$ donde $Y$ es proyectiva. Esto es equivalente a $X$ admisión de un integral Kähler actual, que es aproximadamente un cerrado $(1,1)$forma $T$ que ha coeficientes de distribución (en coordenadas locales), cuya cohomology de clase es integral. Exigimos también una positividad de la propiedad: si $\omega$ es hermitian, a continuación, para cada pequeño $\epsilon > 0$ actual $T - \epsilon \omega$ debe ser positiva.
Un Fujiki colector es entonces una modificación de un Kähler colector. Del mismo modo, esto es equivalente a $X$ admitiendo una Kähler actual $T$, sin condiciones en su cohomology de la clase. Cualquier Moishezon colector es, pues, un Fujiki colector.
Estas clases no hacer absolutamente no cubren todos compacto complejo de colectores. Para ver esto, hacemos la observación de que la descomposición de Hodge tiene para todos los de estas clases (esto es un poco trivial). La descomposición de Hodge falla para el Hopf de la superficie, por lo que el general nonprojective (no Kähler) colector no encajan en ninguna de estas clases. Poco se sabe acerca de general no Kähler colectores, pero una conjetura de Bogomolov afirma que todos ellos pueden ser obtenidos a través de construcciones algebraicas en las foliaciones de proyectivas de los colectores.
Para más detalles sobre estos diferencial geométrica de las caracterizaciones de los que usted podría mirar a Jean-Pierre Demailly, el libro de geometría compleja y sus notas de la conferencia en la trascendental métodos de la geometría algebraica (ambos disponibles de forma gratuita en su sitio web).
