Pensar de esta manera. Supongamos que me tienen las bolas numeradas $1$ a través de $n$, quiero recoger $r$ de ellos, y lo hago una bola en un momento. Hay $n$ diferentes formas en las que yo podría elegir la primera bola. Una vez que se ha elegido, hay sólo $n-1$ bolas de izquierda, por lo que hay $n-1$ diferentes formas en las que yo podría escoger la segunda bola. Por lo tanto, no se $n(n-1)$ diferentes formas en las que yo podría recoger las dos primeras bolas. Si sigo en esto de la moda, después de que he escogido $r-1$ bolas, no se $n-(r-1)=n-r+1$ bolas de la izquierda, así que voy a ser capaz de recoger la $r$-ésimo de la bola en $n-r+1$ diferentes maneras. Por lo tanto, la secuencia de $r$ bolas puede ser elegido en
$$n(n-1)(n-2)\ldots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}\tag{1}$$
de diversas maneras; el $(n-r)!$ en el denominador simplemente sirve para cancelar los factores no deseados en $n!$.
Sin embargo, $(1)$ es el número de diferentes secuencias de $r$ bolas que podemos elegir: si $B$ es un conjunto de $r$ bolas, $(1)$ cuenta todas las posibles permutaciones de las bolas en $B$ por separado. E. g., si $B=\{b_1,b_2,b_3\}$, la expresión $(1)$ cuenta $B$ seis veces, una vez para cada una de las $3!=6$ posibles secuencias en las que podríamos haber elegido $B$: $\langle b_1,b_2,b_3\rangle,\langle b_1,b_3,b_2\rangle,\langle b_2,b_1,b_3\rangle,\langle b_2,b_3,b_1\rangle,\langle b_3,b_1,b_2\rangle$, y $\langle b_3,b_2,b_1\rangle$.
El mismo razonamiento que se usa para llegar al $(1)$ muestra que hay $r!$ diferentes formas de organizar un conjunto de $r$ bolas en orden, de modo que cada una de las $r$elemento-conjunto de bolas que se ha contado $r!$ veces $(1)$. Por lo tanto, para obtener el número real de $r$-elemento subconjuntos de nuestro set de $n$ bolas, debemos dividir $(1)$$r!$, al pasar
$$\binom{n}r=\frac{n!}{(n-r)!r!}\;$$
Desde el punto de vista de ver por qué esto funciona, es mejor pensar en ella como
$$\frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}{r!}=\frac{\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)}{r!}\;;$$
que realmente refleja el razonamiento involucrado.
