Dejemos que $(X,\mu)$ sea un espacio de medidas. Supongamos que $0 < p_{0} < p < p_{1} < \infty$ y $\frac{1}{p} = \frac{1-\theta}{p_{0}} + \frac{\theta}{p_{1}}$ para algunos $\theta \in (0,1)$ . Si $f \in L^{p_{0},\infty}(X,\mu) \cap L^{p_{1},\infty}(X,\mu)$ entonces $f \in L^{p,\infty}(X,\mu)$ y $$\left\|f\right\|_{L^{p,\infty}} \leq \left\|f\right\|_{L^{p_{0},\infty}}^{1-\theta}\left\|f\right\|_{L^{p_{1},\infty}}^{\theta}$$ No es difícil demostrar esta desigualdad para una constante mayor que 1, utilizando la desigualdad de Holder para $L^{p,\infty}$ espacios (Grafakos Análisis clásico de Fourier Ejercicio 1.1.15), pero no puedo averiguar cómo demostrar la desigualdad indicada.
Respuesta
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WLOG asume $f \geq 0$ .
$$ \|f\|_{p,\infty}^p := \sup_{t > 0} t^p \mu\{ f > t\} $$
Ahora, arregla $\lambda,\eta \in (0,1)$ , usted tiene
$$ t^p \mu\{ f > t\} = t^{\eta p} \left(\mu\{f > t\}\right)^\lambda \cdot t^{(1-\eta)p}\left( \mu\{f > t\}\right)^{(1-\lambda)} $$
o
$$ = \left( t^{\eta p / \lambda} \mu\{f > t\}\right)^{\lambda} \cdot \left( t^{(1-\eta) p /(1-\lambda)} \mu\{f > t\}\right)^{1-\lambda} $$
así que tomando el sup de los términos dentro del paréntesis
$$ \| f \|_{p,\infty}^p \leq \| f \|_{\eta p/\lambda,\infty}^{\frac{\eta p}{\lambda}\cdot\lambda}\| f\|_{(1-\eta)p/(1-\lambda),\infty}^{\frac{(1-\eta)p}{1-\lambda}\cdot(1-\lambda)} $$
o
$$ \| f \|_{p,\infty} \leq \| f \|_{\eta p / \lambda,\infty}^\eta \| f \|_{(1-\eta)p/(1-\lambda),\infty}^{1-\eta} $$
Ahora dejemos que $p_0 = \eta p / \lambda$ y $p_1 = (1-\eta)p / (1-\lambda)$ . Es sencillo comprobar que
$$ \frac{\eta}{p_0} + \frac{1-\eta}{p_1} = \frac{\lambda}{p} + \frac{1-\lambda}{p} = \frac{1}{p} $$
