¿Lo general son Noether ' teorema s en mecánica clásica?

Question

Voy a través de las derivaciones de Noether de teoremas, y tengo varias críticas a la forma en que se presentan en fuentes populares (tenga en cuenta que sólo estoy refiriendo a la mecánica clásica aquí y no están interesados en los teoremas en el contexto de la teoría de campo). Mis comentarios se presentan a continuación:

El Hamiltoniano se define como $H=\sum \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-L$. No me voy a ir a través de los detalles, pero se puede demostrar que si la energía potencial sólo depende de coordenadas generalizadas (y no en velocidades) y si la energía cinética es una función cuadrática homogénea de $\dot{q}_i$, a continuación, el Hamiltoniano es la energía total.

El hecho de $\frac{\partial L}{\partial t}=0$ sólo implica directamente que $\frac{d}{dt}H=0$ y nada más. Así que mi crítica es: no Podemos decir en ningún sentido absoluto que el tiempo de traducción de la simetría implica la conservación de la energía; sólo podemos decir que implica la conservación de los Hamiltonianos, que puede o no puede ser el total de la energía de acuerdo a las condiciones que he publicado anteriormente

Por otro lado, se dice a menudo que si no hay espacio simetría de traslación w.r.t. una cierta variable, entonces el conjugado de momentum se conserva. Y muestra de ello es bastante sencilla:

si $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=0$$\frac{d}{dt}p_{{q}_i}=0$.

Pero esto sólo es válido cuando el potencial es independiente de la velocidad, a menos que usted acepte $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = P_{q_i}$, aun cuando el potencial dependiente de la velocidad

Así que ¿dónde estoy arruinando aquí? Son mis declaraciones verdadero pero sin embargo inútil, ya que todos los potenciales en el universo son la velocidad de independiente (que creo que es falsa)? Siempre es posible encontrar un sistema de coordenadas para que $H=E$?

Gracias.

Answer 1

Como yo lo veo, tal vez el problema es el de la energía. Así que, ¿Qué es la energía?

Formal de la definición clásica de la energía: la Energía es una dinámica de invariantes de un sistema que venía de tiempo-simetría de traslación. También hay una pregunta aquí sobre ello. Si quieres más referencias acerca de él, que me haga saber.

Así que.. cuando Bob escribir, $E = T + V$ en disipativo (sistemas de amortiguamiento de la OHS, por ejemplo), Bob es, pues, formalmente mal, ya que la cantidad de $E$ claramente varía con el tiempo, por lo tanto no es una dinámica de invariantes, por lo tanto no puede ser la energía de este sistema.

También, se dijo que: $$ \frac{\partial L}{\partial t} = \frac{dH}{dt} $$

Que no se demuestra el Teorema de Noether. Que sólo indica al $H$ se conserva. Al completar la prueba del Teorema de Noether tiene que ver con el mínimo principio de la acción. Cuando usted toma la acción $A$, y hacen variar infinitamente $\delta A$ por el tiempo de traducción de $\delta t$ y espacial de traducción de $\delta q_i$, y después de algunos cálculos, se llega a: $$ \delta = \delta\int L(q_i, \dot q_i, t) dt = \int\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\parcial\dot q_i}\right) \left(\delta q_i - \dot q_i\delta t\right)dt + \left[\frac{\partial L}{\parcial\dot q_i}\delta q_i - H\delta t\right] $$

La distribución espacial de traducción de $\delta q_i$ se asocia con el impulso $p_i$, y el tiempo de traducción de $\delta t$ está asociado con el hamiltoniano $H$.

Ahora aplicamos al menos el principio de la acción: $\delta A = 0$, y obtenemos: $$ \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\parcial\dot q_i}\right) \left(\delta q_i - \dot q_i\delta t\right)dt = -\frac{d}{dt} \left[\frac{\partial L}{\parcial\dot q_i}\delta q_i - H\delta t\right] $$

Aquí podemos identificar de Euler-Lagrange las ecuaciones, que debe ser satisfecho, y por lo tanto son cero (tener cuidado con los productos de puntos). A continuación, tenemos una cantidad conservada para cada simetría de la acción: $$ p_i\delta q_i - H\delta t = cte $$

Para un tiempo de simetría, $H$ se conserva, y por lo tanto $H$ es la energía del sistema, por definición. No hay tal cosa probada que $T+V$ es la conserva, por lo tanto, no pueden ser dinámicos invariantes, por lo que no puede ser el de la energía.

En resumen, la actual definición formal de los clásicos de la energía fue motivado gracias al Teorema de Noether.

Answer 2

Hay al menos dos generalizaciones del teorema de Noether.

1) Suponga que el Hamiltoniano del sistema con Hamiltonianos $H(z),\quad z=(p,q)$ tiene un parámetro del grupo de simetría $\{g^s_F(z)\}$ que es generado por un Hamiltoniano del sistema con Hamiltonianos $F$. A continuación, $F$ es una primera integral para $H:\quad \{F,H\}=0$, por otra parte, si $dF\ne 0$, entonces hay locales de coordenadas canónicas $P,Q$ de manera tal que en estas coordenadas (estas coordenadas pueden ser construidos por las cuadraturas proporcionado $g^s_F$) Hamiltonianos $H$ no depende de $Q_1$$(P,Q)\mapsto g^s_F(P,Q)=(P_1,\ldots,P_n,Q_1+s,Q_2,\ldots,Q_n)$.

2) Considere un nonholonomic sistema de Lagrange $L=L(q,\dot q)$ y las limitaciones de la ecuación $a_i^j(q)\dot q^i=0,\quad j=1,\ldots,k<n$. Supongamos que existe una parameteer grupo$\{g^s(q)\},\quad L(q,\dot q)=L(g^s(q),d g^s(q)\dot q)$$a_i^j(q) v^i(q)=0$. Aquí $v$ es el campo de vectores que genera a $g^s$. Entonces el sistema tiene la primera integral de la $f=\frac{\partial L}{\partial \dot q^l}v^l.$ También se puede solicitar la rectificación teorema de a $v$