¿Cuál es el producto tensorial de un haz y un módulo?

Question

El siguiente objeto fue estudiado en la sección III.12 del libro Geometría Algebraica de Hartshorne. Sea $A$ un anillo noetheriano, $Y=\mathrm{Spec}A$, y $M$ un módulo sobre $A$. Sea $f:X\to Y$ un morfismo, y $\mathcal{F}$ un haz cuasicoherente en $X$. Entonces Hartshorne escribe $\mathcal{F}\otimes_A M$ sin definir qué es (técnicamente, ya lo había utilizado en la Corolario III.9.4).

Esto es lo que he supuesto. Para cada conjunto abierto afín $U\subset X$, $A_U:=\mathcal{O}_X(U)$ es un $A$-álgebra. Entonces tenemos una prehaz asignando a $U$ el módulo $\mathcal{F}(U)\otimes_A M$. Luego llamaremos al haz asociado de este prehaz $\mathcal{F}\otimes_A M.

Pero lo que me desconcierta es que en la Proposición 12.2, se afirmaba que si $C^*(\mathfrak{U}, \mathcal{F})$ es el complejo de Cech de $\mathcal{F}$, entonces para cualquier $i_0, \ldots, i_p$, tenemos

$$\Gamma(U_{i_0,\ldots, i_p}, \mathcal{F}\otimes_A M)=\Gamma(U_{i_0,\ldots, i_p}, \mathcal{F})\otimes_A M.$$ En otras palabras, me parece que el libro afirma que el prehaz que he definido es de hecho un haz, lo cual no es obvio para mí en absoluto. ¿Podría alguien explicarme qué me falta aquí?

Editar: En la proposición 12.2, se asumió que $\mathcal{F}$ es plano sobre $Y.

Answer 1

No puedo escribir comentarios aún, así que lamento dar solo una breve explicación sobre los puntos que ya se han mencionado. Es cierto que Hartshorne olvidó asumir que la cubierta $\mathfrak{U}$ en la demostración de la Proposición 12.2 consiste en subesquemas abiertos afines (!). Sin esta suposición, ni siquiera habrá conexión entre la cohomología de Cech y la cohomología del haz. También necesita asumir que la cubierta es una cubierta finita(!) para que el producto tensorial conmute con los productos que ocurren en el complejo de Cech.

La descripción más natural de $\mathcal{F}\otimes_A M$ es realmente $\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X} f^* \tilde{M}$. Si $U\subset X$ es un subesquema abierto afín, tenemos $(\mathcal{F}\otimes_A M)(U)=\mathcal{F}(U)\otimes_A M$. Para ver esto, observe que $(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X} f^* \tilde{M})_{|U}=\mathcal{F}_{|U}\otimes_{\mathcal{O}_U} (f_{|U})^*\tilde{M}$. Pero si $U=\mathrm{Spec}\, B$ entonces, por la descripción del pullback de haces cuasicohetentes entre esquemas afines, simplemente tenemos $(f_{|U})^*\tilde{M}=\widetilde{B\otimes_A M}$ y por lo tanto $(\mathcal{F}_{|U}\otimes_{\mathcal{O}_U} (f_{|U})^*\tilde{M})(U)=\mathcal{F}(U)\otimes_B (B\otimes_A M)=\mathcal{F}(U)\otimes_A M$ como se afirmó.

Por lo tanto, si la cubierta es una cubierta finita que consiste en subesquemas abiertos afines y si el esquema es separado (para que todas las intersecciones que ocurren en el complejo de Cech sean afines), su afirmación sobre el complejo de Cech de $\mathcal{F}\otimes_A M$ es verdadera.

Answer 2

Si quieres interpretar $\mathcal F \otimes_A M$ como una gualera, entonces tu descripción es correcta. Otra forma de pensarlo es que $M$ define un gualera $\tilde{M}$ en Spec $A$ de la manera habitual. Podemos llevar esto de vuelta a $X para obtener un $\mathcal O_X$-módulo, y luego formar el producto tensorial de gualeras $\mathcal F \otimes_{\mathcal O_X} f^*\tilde{M}$. Esto da la misma respuesta que tu definición. Para comprobar esto, nota que, con tu definición, $\tilde{M} = \mathcal O_{\mathrm{Spec} A}\otimes_A M$.

Puede ser que Hartshorne signifique que $\mathcal F \otimes_A M$ sea el prehaz que describiste, sin formar una gualera. (No puedo estar seguro, ya que no tengo el libro conmigo.) Esto explicaría su cálculo de Cech.

Aquí hay otra posible explicación: si eliges que los $U_i$ sean afines, y si $X$ es separado, de modo que las intersecciones de los $U_i$ vuelvan a ser afines, entonces la fórmula de Hartshorne seguirá siendo válida incluso si pasas al prehaz asociado. La razón es que sobre un conjunto abierto afín tenemos $\mathcal F = \widetilde{N}$ para cierto módulo $N$, y entonces la fórmula de Hartshorne simplemente sería $N\otimes M = N\otimes M$, donde el lado izquierdo son las secciones globales de $\widetilde{N\otimes M}$, y el lado derecho son las secciones globales de $\widetilde{N}$ tensorizado con $M$ (ambos por supuesto igual a $N\otimes M$).