Función estrictamente creciente

Question

Si $f(x)$ es una función continua en $\mathbb R$ et $|f(-x)|< |f(x)|$ para todos $x>0$ . ¿Implica esto que $|f(x)|$ es estrictamente creciente en $(0,\infty)$ ?

Intenté utilizar la definición: dejar $a,b \in (0,\infty)$ con $a<b$ tenemos que demostrar que $|f(a)|<|f(b)|$ . Tenemos $|f(-a)|< |f(a)|$ y $|f(-b)|< |f(b)|$ y no sé cómo proceder.

Answer 1

No, considera $$ f(x) = \begin{cases} 1&,x\in[1,\infty) \\ x&,x\in [0,1) \\ \frac12x&,x\in [-1,0] \\ -\frac12&,x\in(-\infty,-1) \end{cases} $$ Sólo para aclarar: $|f(1)| = |f(2)|$ por lo que la función no es estrictamente creciente.

Answer 2

Aunque esta pregunta tiene una larga respuesta, todas las respuestas utilizan alguna función a trozos. Por lo tanto, quiero añadir un contraejemplo adicional que no es a trozos: $$f(x) = \frac{\mathrm e^x}{1+\mathrm e^{x^2}}$$ Claramente para $x\in(0,\infty)$ tenemos $\lvert f(-x)\rvert < \lvert f(x)\rvert$ : Como la función es positiva, las barras de valor absoluto no tienen efecto, y como $x^2=(-x)^2$ la condición se reduce a $\mathrm e^{-x}<\mathrm e^x$ lo cual es cierto para $x>0$ porque la función exponencial es estrictamente creciente. Tampoco hay duda de que la función es continua. Por otro lado, $f(0)=1/2$ pero $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ Por lo tanto, también es obvio que no es estrictamente creciente.

Aquí hay un gráfico de la función:

Answer 3

Definir $f$ a trozos: $f=0$ en $(-\infty,0]$ una línea recta creciente en $(0,1)$ una línea recta decreciente en $[1,2]$ y luego una constante positiva hasta $+\infty$ . Es una función positiva, y es creciente en algún punto y decreciente en otro. Como $f(-x)=0$ para cualquier $x >0$ la condición $f(-x)<f(x)$ se satisface.

Es aburrido escribir una fórmula, pero se puede construir una función que tenga $y=0$ como una asíntota a la izquierda, luego aumenta lentamente en $(-\infty,0)$ , luego sube y baja y sin embargo $f(-x)<f(x)$ siempre que $x>0$ . Probablemente baste con tener cuidado, para que $f(0)<\inf_{x>0} f(x)$ .

Answer 4

¿Qué le parece el siguiente contraejemplo? $$ f(x) = \begin{cases} 2-x&,x\in[1,\infty) \\ x&,x\in [0,1) \\ \frac12x&,x\in [-1,0) \\ -1-x&,x\in(-\infty,-1) \end{cases} $$ $|f(x)|$ no es claramente ni creciente ni decreciente en $(0,\infty)$ . Pero $|f(-x)| < |f(x)|$ tiene $\forall x \in (0,\infty)$ .