¿Finalmente polinomio implica finitamente generado?

Question

Yo estaba considerando conversa con el teorema de Hilbert que Hilbert función de un finitely generado gradual en el módulo $k[x_0,\dots,x_n]$ es el tiempo polinomio. Le pregunté a la siguiente pregunta y tengo la curiosidad de si es verdad o tener un contraejemplo.

Deje $k$ ser un campo y $R\subseteq k[x_0,\dots,x_n]$ ser generados por homogéneos. Deje $\varphi(l)=\dim_k R_l$. Supongamos que $\varphi(l)$ es el tiempo polinomio. ¿Esto implica que $R$ es finitely generado? Siéntase libre de agregar condiciones adicionales, si es necesario.

Answer 1

¡No!
Tomar el $R=k[x,xy,xy^2,\cdots,xy^n,\cdots]\subset k[x,y]$, que no finito se genera como una $k$-álgebra. Sin embargo su función de Hilbert $\varphi(l)=\dim_k(\operatorname {vect} (x^l,x^{l-1}y,\cdots ,xy^{l-1}))=l$ es un polinomio en $l$.