¿Converge la suma de los inversos de las sumas de los primos?

Question

$$\sum_{m=0}^ \frac{1}{\sum_{n=0}^m p_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{17} ...$$

Dónde $p_n$ es el $n$ número primo, hace $\sum_{m=0}^ \frac{1}{\sum_{n=0}^m p_n}$ ¿converger?

Answer 1

Todo lo que necesitas es $p_n \ge n$ Así que $\sum_{n=1}^m p_n \ge \sum_{n=1}^m n = m(m+1)/2$ y $\sum_{m=1}^\infty \dfrac{2}{m(m+1)}$ converge.

Answer 2

La respuesta es sí.

Para los grandes $m$ los denominadores son conocidos para ser aproximadamente $\frac{1}{2}m^2\ln m$ en particular, son más grandes que $m^2$ . Por lo tanto, para $m$ suficientemente grande, los términos están limitados por encima de $\frac{1}{m^2}$ .

Answer 3

El n-ésimo primo es evidentemente ≥ 2n - 1. Por lo tanto la suma de los n primeros primos es ≥ $n^2$ . La suma en cuestión converge y es como máximo la suma sobre $1 / n^2$ que converge a $π^2 / 6$ . En realidad, debe ser menos de $π^2 / 6 - 1/2$ porque el primer elemento de la suma es 1/2, no 1.

Esa suma es de aproximadamente 1,1493, lo que no dista mucho del resultado real.

Sólo tengo curiosidad por saber por qué una respuesta que dice "todo lo que necesitas es $p_n ≥ n$ " es votada, mientras que una respuesta que diga " $p_n ≥ 2n - 1$ " y dar una cota superior razonable para el límite no lo hace.