Si $(f'_n)$ converge de manera uniforme, hace $(f_n)$ convergen necesariamente de manera uniforme?

Question

He estado estudiando problemas complejos de análisis, y me quedo atascado en lo siguiente:

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Deje que $D \subseteq \mathbb {C}$ ser un dominio (conjunto abierto conectado) y $z_0 \in D$ . Supongamos que $(f_n)$ es una secuencia de funciones analíticas en $D$ de tal manera que $ \lim_ {n \to \infty } f_n(z_0) = w_0 \in \mathbb {C}$ y esa secuencia de derivados $(f'_n)$ converge uniformemente en subconjuntos compactos de $D$ a una función $g$ . ¿Es cierto que existe una función analítica $f$ en $D$ de tal manera que $f_n \to f$ uniformemente en subconjuntos compactos de $D$ ? Pruebe o dé un contraejemplo.

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Ni siquiera sé si esto es verdad. Pensé que tenía una solución (ver abajo) pero me di cuenta de que estaba usando el Teorema Fundamental de Cálculo en conjuntos que no necesariamente estaban simplemente conectados, lo cual es inválido. Sin embargo, tampoco he tenido éxito en encontrar un contraejemplo.

¿Alguien sabe cómo arreglar el agujero en mi razonamiento, o un contraejemplo si la declaración es falsa? Gracias.

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Supongamos que $K$ está conectado un subconjunto compacto de $D$ que contiene $z_0$ con el número de Lebesgue $ \delta $ . Entonces existe de una cubierta abierta de $K$ por algún número $k$ de $ \delta $ -discos.

Para cada uno $m$ existe $M>0$ de tal manera que $|f'_n(z)-g(z)| < 1/m$ y $|f_n(z_0) - w_0| < 1/m$ para todos $n > M$ y todos $z \in K$ . Ahora deja $z \in K$ y dejar que $ \gamma $ ser un camino de longitud mínima desde $z_0$ a $z$ dentro de la $ \delta $ -cubierta de $D$ . Entonces para $n > M$ , $$ \left | \int_\gamma f'_n(t) - g(t) dt \right | \leq \ell ( \gamma ) /m \leq 2 \delta k /m. $$ Luego \begin {alineado*} \left | f_n(z) - \left (w_0 + \int_\gamma g(t) dt \right ) \right | &= \left | \left (f_n(z)- f_n(z_0) - \int_\gamma g(t) dt \right ) + (w_0- f_n(z_0)) \right | \\ & \leq \left | f_n(z)- f_n(z_0) - \int_\gamma g(t) dt \right | + |w_0- f_n(z_0)| \\ & \leq (2 \delta k+1)/m \\ & \to 0 \text { as } m \to \infty \end {alineado*} Así, $f_n$ converge uniformemente en $w_0 + \int_ {z_0} ^ z g(t) dt $ en subconjuntos compactos de $D$ [cada subconjunto compacto está contenido en un subconjunto compacto conectado que contiene $z_0$ ].

Answer 1

No he revisado su argumento en detalle, pero usted dice

...pero me di cuenta de que estaba usando el Teorema Fundamental de Cálculo en conjuntos que no necesariamente estaban simplemente conectados, lo cual es inválido. [...]

Es cierto que no todas las funciones holomórficas en $D$ necesitan tener un primitivo. Pero en este caso ya sabes que cada uno de los $f_n'$ hace tienen un primitivo en $D$ a saber $f_n$ . Así que siempre tendrás $$ \int_\gamma f_n'(z) \, dz = f_n( \gamma (b)) - f_n( \gamma (a))$$ para una curva $ \gamma : [a,b] \to D$ por el teorema fundamental del cálculo.

Deberías ser capaz de usar esto para mostrar $(f_n)$ es uniformemente caucásica cuando se restringe a conjuntos compactos. Por ejemplo, podrías mostrar

$$|f_n(z) - f_m(z)| \le |f_n(z_0) - f_m(z_0)| + \left | \int_\gamma f_n'( \zeta ) - f_m'( \zeta )\, d \zeta \right |$$

donde $ \gamma $ es cualquier curva en $D$ de $z_0$ a $z$ y seguir desde allí.