los colectores conectados están conectados por trayectorias

Question

demostrar que cada colector conexo es un colector conexo de trayectoria .

mi pensamiento:

espacio conectado : Sea $ X$ sea un espacio topológico. Una separación de $ X $ es un par $U, V$ o subconjuntos abiertos no vacíos de $ X $ cuya unión es $X$ . El espacio $ X $ se dice que está conectado si no existe una separación de $X$ .

Componentes: Dado $X$ define una relación de equivalencia en $X$ fijando x~y si hay existe un subespacio conexo de $X$ que contiene $ x$ y $ y$ . Las clases de equivalencia se denominadas componentes (o "componentes conectados") de $ X$ .

Componente de ruta: Defino otra relación de equivalencia en el espacio $ X$ b si hay un camino en $ X$ de $ x$ a $ y$ . Las clases de equivalencia se denominan componentes de trayectoria de $ X$ .

Teorema : Los componentes de la ruta de $ X$ son trayectorias conectadas d de $X$ cuya unión es $X$ tal que cada subespacio conexo de trayectoria no vacía de $X$ cruza sólo uno de ellos.

muchas gracias

Answer 1

Sea $x\in X$ . Considere $U:=\{y\in X\mathop{|}\text{there is a path from $ x $ to $ y $}\}$ . Así que $U$ no es vacío: $x\in U$ . Reclamación: $U$ y $U^c:=X\smallsetminus U$ ambos están abiertos. Para demostrar esto se utiliza el hecho de que dado cualquier punto $z\in X$ hay una vecindad de $z$ que es homeomorfa a una bola abierta de $\mathbb{R}^n$ para algunos $n$ . La imagen homeomórfica de un conjunto conexo es conexa, por lo que $U$ y $U^c$ ambos están abiertos pero $U \cup U^c = X$ lo que implica que $U=X$ desde $U$ no es vacío.

Answer 2

Los conjuntos conectados por el camino también son conectados, lo contrario no siempre es cierto (existe un famoso contraejemplo que demuestra este hecho). Sin embargo, una condición necesaria para que la inversa de la afirmación anterior sea posible es que los conjuntos conectados sean localmente euclidianos. Así que un colector topológico, por definición es también un espacio localmente euclidiano, si puedes demostrar la afirmación anterior puedes obtener la respuesta. Espero que te sirva de ayuda

Answer 3

Dado que nuestra múltiple M es conexa, sea $x, y \in M$ sea un punto arbitrario.

Puesto que para cualquier $x$ existe un conjunto abierto $U_x \cong \mathbb{R}^n$ para lo cual $x$ está contenido, sea $C_x$ denotan el componente de trayectoria de $x$ . Si $y$ está contenido, hemos terminado. Sin embargo, si no es así, entonces $\bigcup_{x \in C_x}U_x =C_x $ que está abierto.

$M$ es la unión de componentes conectadas por caminos, por el razonamiento anterior todas las componentes conectadas por caminos son abiertas. Esto implica que $M$ está desconectado contradiciendo nuestra hipótesis $y \notin M$ . Por lo tanto, $M$ es un camino conectado.

A la inversa, la conectividad de trayectorias implica la conectividad requerida.

Demostrando que el Manifold es conexo si y sólo si es conexo por caminos.

Answer 4

Todo espacio topológico $M$ que es conexo y localmente conexo por caminos, es un espacio topológico conexo por caminos.