"Espacio tangente "superior

Question

Sea $k[\varepsilon] = k[t]/t^2$ sea el álgebra de los números duales, es decir $\varepsilon^2 = 0$ Aquí $k$ es un campo. Entonces para un esquema $X$ en $k$ y $x \in X(k)$ podemos considerar el conjunto $X(k[\varepsilon])_x$ de $k[\varepsilon]$ -puntos de valor apoyados en $x$ es decir, este conjunto es la preimagen de $x$ mediante la asignación $X(k[\varepsilon]) \to X(k)$ inducida por la proyección canónica $k[\varepsilon] \to k$ , $\varepsilon \mapsto 0$ .

Un dato interesante es que $X(k[\varepsilon])_x$ tiene una estructura natural de $k$ -espacio vectorial. (De hecho, un punto en este conjunto define un homomorfismo local $\varphi: \mathcal O_{X,x} \to k[\varepsilon]$ que podemos escribir como $\varphi(s) = s(x) + \dot\varphi(s)\varepsilon$ para un germen $s$ . Para dos morfismos de este tipo $\varphi, \varphi'$ y $\alpha \in k$ definimos $\varphi + \alpha \varphi'$ como el homomorfismo $s \mapsto s(x) + (\dot\varphi(s) + \alpha\dot\varphi'(s))\varepsilon$ ). Esto no es más que una descripción diferente del espacio tangente de Zariski de $X$ en $x$ .

Q : Ahora, ¿qué pasa si reemplazo $k[\varepsilon]$ por $A_m = k[t]/(t^{m+1})$ , m > 1? ¿Tenemos también una estructura "natural" de espacio vectorial en $X(A_m)_x$ ?

Answer 1

No lo creo. Considere el siguiente ejemplo.

Sea $X = \operatorname{Spec}(k[x,y]/(xy))\subseteq\mathbb A^2.$ Supongamos que $j:\operatorname{Spec}(k[t]/(t^3))\to X$ asigna el punto único al origen. Este mapa viene determinado por $j^*:k[x,y]/(xy)\to k[t]/(t^3)$ que a su vez viene determinada por $$j^*(x) = a_0+a_1t+a_2t^2, j^*(y) = b_0+b_1t+b_2t^2$$ satisfaciendo

$$0=j^*(x)j^*(y) = a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)t+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)t^2.$$ En particular, cada uno de estos coeficientes debe ser cero. Tratando los coeficientes como coordenadas en un espacio mayor, el segundo esquema de chorro de $X$ viene dada por su desaparición

$$J_2(X) = \operatorname{Spec}(k[a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2]/(a_0b_0,a_0b_1+a_1b_0,a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)).$$

(Un esquema de chorro es una versión de orden superior del haz tangente. Así que nos interesan las fibras de este espacio). Ahora bien, como hemos elegido el chorro en el origen, también tenemos $a_0,b_0 = 0.$ Es decir, la fibra del segundo esquema de chorro de $X$ sobre el origen es

$$J_2(X)_{(0,0)} = \operatorname{Spec}(k[a_1,a_2,b_1,b_2]/(a_1b_1)).$$

Pero ahora observamos que $J_2(X)_{(0,0)}$ tiene dos componentes: $(a_1=0)$ y $(b_1=0)$ que son isomorfas a $\mathbb A^3.$ Creo que esto responde a la pregunta, un tanto indirecta: ¿qué estructura natural de espacio vectorial tiene este espacio? Me parece que no tiene ninguna.

Una observación posiblemente relevante es que, en general $J_1(X) = TX = \mathcal{Spec}(\operatorname{Sym}\Omega_{X/k})$ es decir, el haz tangente puede considerarse como el espectro (global) del álgebra simétrica del haz cotangente. Por otra parte, para los esquemas de chorro superior no existe un módulo equivalente cuya potencia simétrica dé las funciones regulares (aunque en su lugar se puede trabajar con álgebras de derivaciones de Hasse-Schmidt).