Espacio espectral de mezcla de cadenas de Markov

Question

Contexto

Deje $P$ ser la matriz de transición de una irreductible, aperiódicos, en tiempo discreto de la cadena de Markov. La espectral de la brecha está dada por

$$\xi = 1 - \lambda_\max$$

donde $\lambda_\max = \max\{\lambda_2, -\lambda_n\}$, es decir, el segundo mayor autovalor de la matriz de transición $P$.

Esto está relacionado con el tiempo de mezcla de la cadena de Markov; el más grande es el espectral de la brecha, el más rápido de la convergencia a la distribución estacionaria.

Problema

Ahora supongamos que tengo dos de esas cadenas en el mismo espacio de estado, con la transición de las matrices $P_1$$P_2$, y espectral de las lagunas $\xi_1$$\xi_2$.

Además, permítanme definir una nueva cadena de Markov con matriz de transición:

$$ P' = \alpha P_1 + (1-\alpha) P_2 $$

en otras palabras, cada transición se realiza de acuerdo a $P_1$ con una probabilidad de $\alpha$, y de acuerdo a las $P_2$ con una probabilidad de $1 - \alpha$.

Ahora la pregunta es, ¿qué puedo decir acerca de la espectral de la brecha de $P'$? Intuitivamente, me imagino que el espectral de la brecha es cóncava, es decir,

$$\xi' \ge \alpha \xi_1 + (1-\alpha) \xi_2$$

Pero no tengo idea de cómo mostrar este... Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Esto no es una cosa fácil de demostrar y, en general, el espectro de la brecha de una matriz no exceda de la combinación convexa de sus lagunas. Es un problema difícil y un área activa de investigación. Sin embargo, si uno de sus cadenas de Markov pasa a ser de rango 1, se puede aplicar el Corolario 1 de http://arxiv.org/pdf/math/0307056v1.pdf. Los resultados anteriores de este artículo pueden ayudarle a probar útil adicional de los resultados, también.

Uno puede probar su conjetura en el caso de que ambas cadenas comparten la misma limitación de la distribución. (Una especie de trivial y deja como ejercicio.)