Permutación duplicados

Question

Pude juro que tenía una fórmula para esto hace años en la escuela, pero tengo problemas para seguimiento hacia abajo. El problema:

Tengo 3 bolas rojas y 3 bolas negras en una cesta. Dibujarlos hacia fuera de uno en uno. Cuántas secuencias diferentes de seis bolas puedo obtener, es decir

rbrbrb
rrrbbb
bbbrrr
etc...

Estoy en busca de una fórmula general para n rojo y m negro. Esto no es una tarea, simplemente mi cerebro envejecimiento tratando de recuperar una fórmula abstracta.

Answer 1

Coloque el $n+m$ bolas en una fila; la de escoger la $m$ quieres ser de color rojo. Ha $\binom{n+m}{m}=\frac{(n+m)!}{n!m!}$ formas posibles de hacerlo, de modo que es la fórmula en este caso.

He aquí una forma alternativa de pensar acerca de ello: el lugar de la $n$ roja en una fila; ahora lo que necesita para decidir dónde insertar el $m$ negro. Lo que quiero hacer es elegir las ubicaciones de las $m$ bolas negras; hay $n+1$ ubicaciones posibles (antes de que todas las bolas rojas, en el $n-1$ espacios entre las bolas de color rojo, y después de que todas las bolas rojas). Usted quiere elegir aquellas que permiten repeticiones, y sin tener en cuenta el orden en el que recoger (lo que importa es cómo muchas veces usted escoja cada espacio).

El número de maneras en que usted puede seleccionar $r$ elementos de $k$ posibilidades, permitiendo repeticiones y sin importar el orden (combinaciones con repetición), es $\binom{k+r-1}{r}$.

Así que aquí usted desea seleccionar $m$ $n+1$ posibilidades, da $\binom{n+m}{m} = \frac{(n+m)!}{m!n!}$, lo mismo que antes.

Para ver una derivación de la fórmula, véase por ejemplo el artículo de Wikipedia sobre combinaciones. Esto a veces es llamado también el "estrellas y barras problema", así que usted puede encontrar una prueba en la correspondiente página.