Prueba del teorema de Stickelberger

Question

Estoy teniendo algunos problemas en la comprensión de la prueba de Stickelberger del Teorema,

$\textbf{Theorem :}$ Si $K$ es un número algebraico de campo, a continuación,$\Delta_K$, el discriminante de $K$, satisface $$\Delta_K\equiv 0,1\pmod{4}$$

$\textbf{Proof :}$ Deje $\lbrace a_1,\ldots ,a_n\rbrace\subseteq\mathfrak{O}_K$ integrante de base para $K$ $\sigma_1,\ldots\sigma_n :K\to \mathbb{C}$ todas las incrustaciones de $K$. Entonces tenemos, por definición,, $$\sqrt {\Delta_K}=\det([\sigma_i(a_j)])$$ and this can be written as $$\sqrt{\Delta_K}=\sum_{\pi\in A_n}\prod_{i=1}^n\sigma_i\left(a_{\pi (i)}\right)-\sum_{\pi\not\in A_n}\prod_{i=1}^n\sigma_i\left(a_{\pi (i)}\right):=P-N$$ Ahora para cada uno de incrustación $\sigma_i$ hemos, $$\sigma_i(P+N)=P+N,\hspace{5mm} \sigma_i(PN)=PN$$ and hence $P+N, PN\in\mathbb{Q}$.

Por lo tanto, tenemos $P+N,PN\in\mathbb{Z}$, debido a $P$ $N$ son ambos enteros algebraicos. Ahora el uso de la identidad $$(P-N)^2=(P+N)^2-4PN$$ it follows that $\Delta_K\equiv0,1\pmod{4}.$

$\underline{\textbf{My questions}}:$

$(1)$ ¿Cómo podemos aplicar$\sigma_i$$P+N$$PN$, quiero decir, ¿cómo se sigue que la $P+N, PN\in K$ ?

$(2)$ ¿Por qué es $\sigma_i(P+N)=P+N$$\sigma_i(PN)=PN$ ?

$(3)$ ¿Cómo se sigue que la $P+N, PN\in\mathbb{Q}$ ?

Answer 1

En primer lugar, un breve comentario: no puedo responder a ninguna de las tres preguntas que se le preguntó en el final de tu post. (Por ejemplo, también tengo la impresión de que no es inmediatamente claro por qué se $P+N,PN \in K$.)

Sin embargo, aquí está mi reconstrucción de la prueba que usted solicitó. En algunos detalles, es diferente de la prueba de que usted describe. En cambio, mi prueba estará en conformidad con la respuesta a su pregunta en mathoverflow (De hecho, mi prueba esperemos que las respuestas a las preguntas que se pide en los comentarios a la mathoverflow-respuesta.)

Similar a la de la prueba de que usted describe, también podemos escribir $$\Delta_K=(\sum_{\pi \in X} \prod_{i=1}^n \sigma_{\pi(i)}a_i-\sum_{\pi \in Y} \prod_{i=1}^n \sigma_{\pi(i)}a_i)^2=(P-N)^2$$ donde $X$ es el conjunto de incluso permutaciones y $Y$ es el conjunto de impares permuations en $S_n$. Tenga en cuenta que podemos suponer $K \subset \mathbb{C}$. Deje $L$ ser un campo con $K \subseteq L \subseteq \mathbb{C}$ que $L/ \mathbb{Q}$ es finito y Galois. (Es un hecho bien conocido en la Teoría de Galois que un adecuado $L$ existe). Sólo voy a explicar el "paso fundamental" de la prueba, es decir, que $P+N, PN \in \mathbb{Q}$. (El resto debe entonces quedar claro.) Primero de todo, quiero mostrar la siguiente declaración:

($\star$)$\phantom{aaaaaaa}$$\phi(P+N)=P+N$ y $\phi(PN)=PN$ todos los $\phi \in \text{Gal}(L/\mathbb{Q})$

Deje $\phi \in \text{Gal}(L/\mathbb{Q})$. Para todas las incrustaciones $\sigma_i$,$\sigma_iK \subseteq L$. Prueba: Extender cada $\sigma_i$ a un incrustar $\overline{\sigma_i}:L \to \mathbb{C}$. Se desprende de la normalidad de las $L$ que $\overline{\sigma_i}L=L$. A fortiori, tenemos $\sigma_iK\subseteq L$. Por lo tanto, para cada $\sigma_i$, podemos construir la composición de la $\phi \circ \sigma_i$ y esta es una incrustación $K \to \mathbb{C}$. Ahora, no es difícil ver que la asociación de $\sigma_i \mapsto \phi \circ \sigma_i$ nos da un bijection $$\{\sigma_1,...,\sigma_n\} \to \{\sigma_1,...,\sigma_n\}$$ Pero esto significa que podemos encontrar una permutación $\tau \in S_n$ tal que para cada a $i \in \{1,...,n\}$ $$\phi\circ \sigma_i=\sigma_{\tau(i)}$$ Distinguir dos casos relativos a $\tau$.

Caso 1: $\tau$ es incluso. A continuación, $\tau X=X$ y hemos $$\begin{align} \phi(\sum_{\pi \in X} \prod_{i=1}^n \sigma_{\pi(i)}a_i) & = \sum_{\pi \in X} \prod_{i=1}^n \phi\circ\sigma_{\pi(i)}a_i \\ & = \sum_{\pi \in X} \prod_{i=1}^n \sigma_{\tau\pi(i)}a_i \\ & = \sum_{\pi \in \tau X} \prod_{i=1}^n \sigma_{\pi(i)}a_i \\ & =\sum_{\pi \in X} \prod_{i=1}^n \sigma_{\pi(i)}a_i \end{align}$$ Esta muestra $\phi(P)=P$. En forma similar se puede demostrar que $\phi(N)=N$ (el punto clave aquí es que el $Y=\tau Y$.)

Caso 2: $\tau$ es impar. Aquí tenemos a $\tau X=Y$$\tau Y=X$. De ello se desprende que $\phi(P)=N$ $\phi(N)=P$ (la prueba es similar a la que en el caso 1: simplemente escriba las fórmulas para$\phi(P)$$\phi(N)$, y durante los cálculos, hacer uso de $\tau X=Y$$\tau Y=X$).

En cada caso, $\phi(P+N)=P+N$ $\phi(PN)=PN$ e esta muestra ($\star$).

Ahora, $(\star)$ dice exactamente eso $P+N$ $PN$ están en el campo fijo del grupo de Galois. Pero esto significa $P+N, PN \in \mathbb{Q}$.