¿Cómo calcular la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \arctan(\frac{2}{n^{2}})$?

Question

Encontré la serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \arctan\frac{2}{n^{2}}. $$

Sé converge (por prueba de la razón), pero si necesito calcular su límite explícitamente, ¿cómo hago? Cualquier sugerencia sería de gran ayuda...

Answer 1

Tenga en cuenta que $\arctan(u)-\arctan(v)=\arctan\left(\frac {u-v}{1+uv}\right)$. Tomando el $u=n+1$ $v=n-1$ espectáculos y que %#% $ #%

Así vemos que los telescopios de la serie y $$\arctan\left(\frac {2}{n^2}\right)=\arctan(n+1)-\arctan(n-1)$ $

Answer 2

\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty\arctan\left ( \frac{2}{n^2} \right ) &=-arg \prod_{n=1}^\infty\left (1-\frac{2i}{n^2} \right ) \\ &=-arg \prod_{n=1}^\infty\left (1-\frac{(\sqrt{2i})^2}{n^2} \right ) \\ &=-arg\left(\frac{\sin(\pi\sqrt{2i})}{\pi\sqrt{2i}} \right ) \\ &=-arg\left(-\frac{(1/2+i/2)\sinh\left(\pi \right )}{\pi} \right ) \\ &= \frac{3\pi}{4} \end{align*}