Formas visuales de recordar los productos cruzados de los vectores unitarios Producto cruzado en $\mathbb F^3$ ?

Question

Objetivo: encontrar formas visuales y accesibles de recordar esta fórmula rápidamente

$$(x,y,z)\times(u,v,w)=(yw-zv,zu-xw,xv-yu)$$

He utilizado la regla de Sarrus pero es lenta, más aquí . Como es lento, he tratado de encontrar formas alternativas como la visualización del árbol binario (pero es pobre/lento hasta que se tengan algunas ideas inteligentes):

RobJohn de la idea de "sólo un ciclo de la permutación"

$$\begin{align}i&=j\times k\\j&=k\times i\\k&=i\times j\end{align}$$

Mariano SuárezAlvarez -idea

Considere la matriz 3×3 como los puntos del plano afín sobre F3: entonces los términos del determinante corresponden a líneas afines que no son ni horizontales ni verticales --.

Anon La idea de

Dibuja un triángulo con vértices i, j, k con flechas i->j, j->k, k->i. La multiplicación de dos de estas unidades se hace de la siguiente manera: si son iguales mismo, 0; si van con el flujo del triángulo, el tercero en la línea; si van en sentido contrario al flujo, la tercera también pero con un signo menos

Estamos discutiendo este tema más aquí .

Answer 1

Yo suelo enseñar esto (que no requiere ninguna escritura adicional y evita las permutaciones cíclicas, que suelen ser confusas para los alumnos): $$ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array}\right] $$

1) ignorar $x$ y $u$ (es decir, la vista en bloque mental de la primera fila), calcular $2\times 2$ determinante del material restante $yw-zv$

2) Vista de bloque mental de la segunda fila, añadir un punto negativo , computa $2\times 2$ determinante

3) Mentalmente la vista en bloque de la tercera fila, calcula $2\times 2$ determinante

en lugar de bloquear mentalmente la vista, puedes poner un lápiz en esa fila

Answer 2

Realmente creo que es difícil superar la $3\times 3$ mnemotecnia determinante.

Sin embargo, hay un truco para $3 \times 3$ determinantes que hacen que su cálculo sea sencillo. Recuerda que calculas un $2 \times 2$ determinante multiplicando las diagonales y los off-diagonales (la diagonal ascendente) y tomando la diferencia. Se puede hacer lo mismo para $3 \times 3$ ...bueno, más o menos. Sólo tienes que repetir las dos primeras columnas. Luego resta los productos de las diagonales ascendentes de los productos de las diagonales descendentes.

Por cierto, las sugerencias de RobJon y Anon equivalen a lo mismo. Comúnmente se dibuja como un círculo (ver abajo). Me refiero (sin razón aparente) a esto como el "círculo de la perdición". Te ayuda a recordar los productos cruzados entre las bases estándar, así como la forma de multiplicar los cuaterniones (que equivale a casi lo mismo). Ve en el sentido de las agujas del reloj y obtén: $ij=k$ , $jk=i$ , $ki=j$ . Lucha contra el círculo y consigue negativos: $ji=-k$ etc.

Editar: El post de @Blah es bastante parecido a lo que yo uso cuando enseño el producto cruzado. Sin embargo, en lugar de columnas, suelo escribir los vectores en filas y escribir el producto cruzado como una multiplicación de escuela primaria. Entonces el producto cruzado se calcula ignorando la primera, segunda y tercera columnas en orden; calculando el correspondiente $2 \times 2$ determinante; y negando el término medio [lo que en realidad equivale a utilizar la mnemotecnia del determinante, pero implica menos escritura]. Esto es más fácil de implementar que el $3 \times 3$ truco que mostré más arriba y que es aplicable al calcular el rizo [ver el comentario de anon más abajo].

$$\begin{array}{cccccc} & \langle & v_1, & v_2,& v_3 & \rangle \\ \times & \langle & w_1,& w_2, & w_3 & \rangle \\ \hline & \langle & v_2w_3-w_2v_3,& -(v_1w_3-w_1v_3),& v_1w_2-w_1v_2 & \rangle \end{array}$$

Answer 3

Tal vez esto no sea más claro, pero me resultó fácil recordarlo como un producto matricial después de que el primer vector se convierta en una matriz sesgada-simétrica (véase la Wikipedia aquí ).

$$ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array}\right] $$

Answer 4

Esto me funciona de maravilla:

Diga ${\bf x}=(x_1,x_2,x_3)$ y ${\bf y}=(y_1,y_2,y_3)$ . Entonces

$${\bf x}\times {\bf y}=\left(\begin{vmatrix} x_2&x_3 \\y_2&y_3 \end{vmatrix},-\begin{vmatrix} x_1&x_3 \\y_1&y_3 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} x_1&x_2 \\y_1&y_2 \end{vmatrix}\right)$$

También puede recordarlo por un método de cobertura del arreglo

$$\begin{vmatrix} x_1&x_2&x_3 \\y_1&y_2&y_3 \end{vmatrix}$$

Primera coordenada: $$\begin{vmatrix} \bf X&x_2&x_3 \\\bf X&y_2&y_3 \end{vmatrix}$$ Segunda coordenada: $$\begin{vmatrix} x_1&\bf X&x_3 \\y_1&\bf X&y_3 \end{vmatrix}$$ Tercera coordenada: $$\begin{vmatrix} x_1&x_2&\bf X \\y_1&y_2&\bf X \end{vmatrix}$$

Answer 5

No estoy seguro de que de esta forma se pueda deducir el caso más avanzado pero elaboraré el RobJohn

$$ \begin{align} \color{Red}{i}&=\color{Blue}{j}\times \color{Green}{k}\\ \color{Blue}{j}&=\color{Green}{k}\times \color{Red}{i}\\ \color{Green}{k}&=\color{Red}{i}\times \color{Blue}{j}. \end{align}$$

Ahora el "bit -shift" es equivalente al producto cruzado por el elemento del lado izquierdo. Por ejemplo, para obtener de $ijk$ a $jki$ -- producimos por el elemento LHS, es decir, aquí $k$

$$\begin{align}k\times (\color{Red}{i})&=k\times (j\times k ) \\ j&=k\times \color{Red}{i}.\end{align}$$

Orden de productos cruzados con toros

1. Torus

$$\begin{pmatrix} ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & \color{Red}{i} & \color{Blue}{j} & \color{Green}{k} & i & j & k & ... \\ ... & i & \color{Blue}{j} & \color{Green}{k} & \color{Red}{i} & j & k & ... \\ ... & i & j & \color{Green}{k} & \color{Red}{i} & \color{Blue}{j} & k & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ \end{pmatrix}$$

2. Corte del toro

$$\begin{pmatrix} ... & \color{Red}{i} & \color{Blue}{j} & \color{Green}{k} & i & \color{Blue}{j} & \color{Green}{k} & \color{Red}{i} & j & \color{Green}{k} & \color{Red}{i} & \color{Blue}{j} & k & & ... \end{pmatrix} $$

3. Torus simplificado

Básicamente sólo hay que recordar el orden $i,j,k$ , entonces sólo unos pocos repeticiones para conseguir $i,j,k,i,j$ . Lea de izquierda a derecha para obtener $ijk$ , $jki$ y $kij$ -- ¡tenemos nuestras permutaciones cíclicas!

_{<strong>Tal vez relacionado</strong>}

1. Problema técnico con esta respuesta aquí sobre el trazado.