Posibles comportamientos de la función de cofinalidad de vecindad para espacios topológicos $X$ que están conectados.

Question

Dado un espacio topológico $X,$ existe una función $f_X : X \rightarrow \mathrm{Cardinals}$ definida de la siguiente manera. Dado un punto $x \in X$ , $f_X(x)$ es el cofinalidad del poset cuyos elementos son las vecindades de $x,$ cuya relación de orden es de inclusión inversa. (Así que $U \leq V$ si $U \supseteq V$ ).

Por ejemplo, decir que $X$ es de primera cuenta es sólo para decir que $f_X(x) \leq \aleph_0$ para todos $x \in X$ .

Pregunta concreta. ¿Cuál es un ejemplo de un espacio topológico conectado $X$ donde $f_X$ no es constante?

Pregunta general. ¿Qué se sabe sobre los posibles comportamientos de $f_X$ cuando $X$ ¿está conectado?

Answer 1

Esta función cardinal es más conocida como carácter de un espacio topológico en un punto, y se denota $\chi$ .

Para un ejemplo de un espacio conectado donde $\chi$ no es constante, considere el " rayo largo extendido " $X = ( \omega_1 \times [0,1) ) \cup \{ \langle \omega_1 , 0 \rangle \}$ con la topología de orden (lexicográfico). Está bastante claro que $\chi ( X ; \langle \alpha , x \rangle ) = \aleph_0$ para todos $\langle \alpha , x \rangle \in \omega_1 \times [0,1)$ Sin embargo $\chi ( X ; \langle \omega_1 , 0 \rangle ) = \aleph_1$ .

(No conozco ninguna restricción de esta función cardinal en la clase de espacios conexos. Bueno, supongo que $\chi ( X ; x )$ no puede ser finito si $X$ es un espacio Hausdorff conexo de tamaño $>1$ pero eso no es decir mucho).