Números de Chern de espacio proyectivo explotado en una subvariedad lineal

Question

Este es un seguimiento a mi pregunta anterior acerca de chern números. Escribir $\mathbb{P}^n:=\mathbb{P}^n_\Bbbk$ para proyectiva del espacio a través de algunas de campo $\Bbbk$ y asumir que $X\subseteq\mathbb{P}^n$ es una subvariedad lineal, $\mathbb{P}^m\cong X$, dicen. Ahora considero el golpe de $Y:=\mathbb{P}^n$$X$, lo que da un golpe de diagrama de $$\begin{matrix} \tilde{X} & \xrightarrow{\; j\;} & \tilde{Y} \\ \hphantom{\scriptstyle g}\downarrow {\scriptstyle g} && \hphantom{\scriptstyle f}\downarrow {\scriptstyle f} \\ X &\xrightarrow{\;i\;} & Y \end{de la matriz}$$ Mi pregunta es, ¿cuál es la segunda clase de chern $c_2(\tilde Y):=c_2(\mathcal{T}_{\tilde{Y}})$ de la tangente gavilla de $\tilde{Y}$?

Comentario: estoy interesado en última instancia en el grado de $c_2(\tilde Y)c_1^{n-2}(\tilde Y)$.

Mis pensamientos hasta ahora: Como se puede ver en mi primera pregunta, las clases de chern de $Y$ (e $X$) han conocido la representación, y no hay una fórmula para calcular las clases de chern de la cámara de variedades en Fulton libro de la Intersección de la Teoría, a saber, el Teorema de 15.4. En aras de la brevedad, voy a citar su Ejemplo 15.4.3, lo que da una fórmula para $c_2$:

$$c_2(\tilde Y) = f^\ast(c_2(Y)) - j_\ast\left( (d-1) g^\ast(c_1(X)) + \tfrac{d(d-3)}{2} \zeta + (d-2) g^\ast(c_1(\mathcal{N})) \right)$$

Aquí, $\mathcal{N}=\mathcal{N}_{X/Y}$ es normal en el paquete de $X$ $Y$ $\zeta$ denota $c_1(\mathcal{O}_{\tilde{X}}(1))$.

Por supuesto, $c_1(\mathcal{N})=c_1(i^\ast\mathcal{T}_Y)/c_1(\mathcal{T}_X)$ por la conocida secuencia exacta $$0\to\mathcal{T}_X\to i^\ast\mathcal{T}_Y\to\mathcal{N}_{X/Y}\to 0,$$ pero no estoy 100% seguro de cuál es el efecto que los pullbacks y botones delanteros tienen. En la final, me gustaría expresar $c_2(\tilde Y)$ como la suma de las intersecciones de conocidos divisores en $\tilde Y$, como el estricto transformación de un hyperplane y el divisor excepcional.

Answer 1

Creo que yo era capaz de resolver esto con la ayuda de Johannes Nordström en mathoverflow.

Deje $\theta$ ser la clase de la estricta transformación de un hyperplane en $\tilde Y$ y deje $\varepsilon$ ser la clase del divisor excepcional. Entonces, yo reclamo que

$$c_2(\tilde Y) = \binom{n+1}{2} \cdot \theta^2 - \frac{d(d-3)}{2}\cdot\varepsilon^2 + (n+1-dn)(\varepsilon^2+\varepsilon\theta).$$

Para la prueba, vamos a $\eta:=c_1(\mathcal{O}_X(1))$. Para Fulton Ejemplo 15.4.3, tenemos la fórmula $c_2(\tilde Y)=f^\ast(c_2(Y))-j_\ast(\delta)$ con

$$\delta=(d-1)g^\ast(c_1(X)) + \frac{d(d-3)}{2}\zeta + (d-2)g^\ast(c_1(\mathcal{N}))$$

Desde $X\cong\mathbb{P}^{n-d}$$Y=\mathbb{P}^n$, sabemos, por Ejemplo 3.2.12 en Fulton libro que $c_1(X)=(n+1-d)\eta$$c_1(\mathcal{N})=d\eta$. Por lo tanto,

$$\begin{align*} \delta &= (d-1)(s+1-d)\cdot g^\ast(\eta) + d(d-3)/2\cdot\zeta + d(d-2)\cdot g^\ast(\eta)\\ &= (dn-n-1)\cdot g^\ast(\eta) + d(d-3)/2\cdot \zeta. \end{align*}$$

Desde $g:\tilde X\to X$ es sólo el mapa de proyección $X\times\mathbb{P}^{d-1}\to X$, sabemos que $g^\ast(\eta)$ es representado por un divisor que es la preimagen de un hyperplane en $X$. Escrito que hyperplane como la intersección de $X$, con una transversal hyperplane $H\subseteq Y$, obtenemos $j_\ast g^\ast (\eta) = [\tilde X\cap f^{-1}(H)] = \varepsilon^2 + \varepsilon\theta$. Además, $\zeta$ corresponde a la conormal paquete de $\tilde X$$\tilde Y$, por lo que se refiere a la restricción de $-\varepsilon$$\tilde X$, en otras palabras $j_\ast(\zeta)=-\varepsilon^2$. Este rendimientos

$$j_\ast(\delta) = (dn-n-1)(\varepsilon^2 + \varepsilon\theta) + \frac{d(d-3)}{2}\cdot\varepsilon^2.$$

Por otro lado, $f^\ast([H])=\theta$ por el Corolario 6.7.2 en Fulton. Por Ejemplo 3.2.11 (o mi anteriormente respondió a la pregunta), sabemos que $c_2(Y)=\binom{n+1}{2}\cdot [H]^2$. Poniendo todo junto, obtenemos la fórmula de arriba.