Converge$\sum\frac{\sin n}{n}$?

Question

¿Converge$\sum\frac{\sin n}{n}$?

He intentado la prueba de la comparación, prueba de la raíz y prueba de la proporción pero todavía no puedo probar que es convergente o divergente.

Answer 1

Puede usar la prueba de Dirichlet : la secuencia $\frac{1}{n}$ está convirtiendo de manera decreciente en$0$, así que tiene que probar que $S_n = \ sum_ {k = 1} ^ n \ sin k$$ está limitado.

Aquí está una manera rápida de demostrarlo: usando$S_n = \Im(\sum_{k=1}^n e^{ik})$ y la desigualdad$|\Im(z)| \leq |z|$, tenemos $$| S_n | \ Leq \ left | e ^ i \ frac {1-e ^ {in}} {1-e ^ i} \ right | \ Leq \ frac {2} {| 1-e ^ i |} <\ infty.$$

Answer 2

Sugerencia: Encontré esta pista de mis viejas notas. Espero que esto te ayude.

ps

Para ver esto utilice la prueba de Dirichlet y este hecho que$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}

Answer 3

$\displaystyle \sum \frac{\sin n}{n}$ converge

1. $\displaystyle \sum_{n = 1}^M \sin n$ es limitada siempre (por qué?)
2. $\dfrac{1}{n} \to 0$ y va disminuyendo a medida $n \to \infty$
3. Podemos concluir por Dirichlet en la Prueba de la convergencia, que es una especie de generalización de la 'alternancia de serie de la prueba," que nuestra serie converge.
4. Esta convergencia no es absoluta. En particular, $\max\{|\sin n|, |\sin (n + 1)|\}> \delta > 0$ algunos $\delta$ (no dependiendo de la $n$), y para la combinación de cada dos términos adyacentes absoluta de la serie van a divergir por comparación con la serie armónica.