Suma los números del 1 al 100000 después de quitar los ceros

Question

Tengo números del 1 al 100.000. Necesito quitar los ceros de todos los números y sumar los números del 1 al 100.000. Así que si el número es 405 considéralo como 45, si el número es 20039 considéralo como 239. Hay alguna forma matemática de resolver esto, me refiero a alguna fórmula o algo.

Answer 1

Es un poco más natural considerar los números de $1$ a $99999$ ya que forman conjuntos completos de números con un cierto número de cifras; entonces podemos sumar $1$ para $100000$ al final.

Hay $\displaystyle\binom5k$ formas de seleccionar $k$ de la $5$ dígitos sean distintos de cero, y todos conducen a los mismos números cuando se eliminan los ceros. Cada dígito no nulo puede tomar los valores $1$ a través de $9$ cuya suma es $9(9+1)/2=45$ . Los dígitos pueden ser elegidos independientemente, por lo que el total de $k$ dígitos distintos de cero es $45$ para una cifra determinada veces $9^{k-1}$ opciones para los dígitos restantes tiempos $\underbrace{1\ldots1}_k=(10^k-1)/9$ para la suma de las valencias de los dígitos, para un total de

$$ \begin{align} \sum_{k=0}^5\binom5k45\cdot9^{k-1}\frac{10^k-1}9 &= \frac59\left(\sum_{k=0}^5\binom5k90^k-\sum_{k=0}^5\binom5k9^k\right) \\ &= \frac59\left(91^5-10^5\right) \\ &=3466789695\;. \end{align} $$

Añade el $1$ para $100000$ y el resultado coincide con el de Mark.

Answer 2

Dada la bandera de Mathematica, podrías considerar publicar este tipo de preguntas en mathematica.stackexchange.com. No obstante,

deleteZeros[n_] := FromDigits[DeleteCases[IntegerDigits[n], 0]];
Total[deleteZeros /@ Range[100000]]

(* Out: 3466789696 *)

Answer 3

Mira. Puedes preguntar cuántos números del 1 al 100000 terminan en 5 (el parece xxxxx5 donde $x \in \{0,...9\}$ ) que sea $a_{15}$ , entonces cuántos números se parecen a xxxx5x que sea $a_{25}$ y así sucesivamente. Después de eso debe añadir todos los $a_{ij}$ , fueron $i\in\{1,2,3,4,5\}$ y $j\in\{1,...9\}$ .