Ejemplos de propiedades no-invariantes pero "útiles" de objetos matemáticos

Question

Estoy tratando de averiguar si hay matemáticamente importantes o útiles de propiedades (de algún objeto(s)) que son, sin embargo, no es invariante bajo alguna opción habitual de isomorfismo?

Hay tal "natural" ejemplos de objetos que tienen alguna propiedad (expresadas en algún lenguaje) que no son invariantes?

Lo que quiero decir por "natural" es más o menos que yo no ad-hoc ejemplo, es decir, algo realmente utilizado/conocido por algunos matemático(s) que lo más importante para un propósito u otro.

El fondo a mi cuestionamiento es que me gustaría investigar si algunas de las afirmaciones hechas por los estructuralistas, los filósofos de las matemáticas, específicamente que "estructural" propiedades son la única matemáticamente las propiedades relevantes, mantenga el agua. Por las propiedades estructurales me refiero a las propiedades invariantes bajo isomorphisms en alguna categoría (en lo que sea pertinente sentido).

Hasta ahora, no he sido capaz de encontrar un convincente contra-ejemplo (que no es ad-hoc) para la anterior estructuralistas afirman, de ahí mi pregunta.

Answer 1

Una curva elíptica se dice que está en Weierstrass forma normal , si está definida por una ecuación de la forma $$ y^2 = x^3 + ax + b $$ para las constantes $a,b$. Esta propiedad no se conserva bajo automorfismos de curvas elípticas: de hecho, cada curva elíptica sobre un campo de carácter no 2 o 3 es isomorfo a una curva elíptica en forma de Weierstrass. Estar en Weierstrass forma normal es, por tanto, no es una propiedad intrínseca de la curva elíptica, sino de la presentación de la curva elíptica. La razón por la que Weierstrass formas normales son útiles, a pesar de no ser conservados bajo isomorfismo, es que simplifica los cálculos.

Algo similar ocurre para las matrices de más de $\mathbb C$. Cada matriz cuadrada sobre $\mathbb C$ es similar a una matriz cuadrada en forma normal de Jordan. Claramente, la propiedad de "ser en forma normal de Jordan' no se conserva en virtud de las similitudes, que es el natural de la noción de isomorpism para matrices cuadradas en la mayoría de las situaciones. De nuevo, la razón por la que estamos estudiando la forma normal de Jordan (y similares descomposición) de todos modos, es que ayuda al hacer explícitos los cálculos.

Answer 2

Al establecer las categorías de espacios de Banach (o espacios de Hilbert o espacios de productos internos o espacios normados), elegimos tomar asignaciones lineales continuas como los morfismos en lugar de asignaciones lineales isométricas. La estructura métrica no es invariante bajo esta elección para los morfismos, pero las categorías resultantes son mucho más interesantes y útiles.