El número de
$$\left(\frac {2^{10}} {11}\right)^{11}$$ es
$(A)$ estrictamente mayor que ${10 \choose 1}^{2} {10 \choose 2}^{2} {10 \choose 3}^{2} {10 \choose 4}^{2} {10 \choose 5}$.
$(B)$ estrictamente mayor que ${10 \choose 1}^{2} {10 \choose 2}^{2} {10 \choose 3}^{2} {10 \choose 4}^{2}$, pero estrictamente menor que ${10 \choose 1}^{2} {10 \choose 2}^{2} {10 \choose 3}^{2} {10 \choose 4}^{2} {10 \choose 5}$.
$(C)$ menos que o igual a ${10 \choose 1}^{2} {10 \choose 2}^{2} {10 \choose 3}^{2} {10 \choose 4}^{2}$.
$(D)$ igual a ${10 \choose 1}^{2} {10 \choose 2}^{2} {10 \choose 3}^{2} {10 \choose 4}^{2} {10 \choose 5}$.
Mi intento de $:$
Desde $2^4 > 11$, por lo que tenemos $\left(\frac {2^{10}} {11}\right)> 2^{6}$ $\implies$ $\left(\frac {2^{10}} {11}\right)^{11}>(2^{6})^{11}$.
Ahora $(2^{6})^{11}=(2^{6})^{10}.2^{6}=(2^{10})^{6}.2^{6}=(2^{10})^{4}.2^{26}>{10 \choose 3}^{2} {10 \choose 4}^{2}.2^{26}$.Ahora vamos a mostrar que el $2^{26}>{10 \choose 1}^{2} {10 \choose 2}^{2}{10 \choose 5}$.
Ahora$2^{7}>100={10 \choose 1}^{2},2^{11}>2025={10 \choose 2}^{2}$$2^{8}>252={10 \choose 5}$.Esto demuestra que $2^{26}>{10 \choose 1}^{2} {10 \choose 2}^{2}{10 \choose 5}$. es decir, tenemos $(2^{6})^{11}>{10 \choose 1}^{2} {10 \choose 2}^{2} {10 \choose 3}^{2} {10 \choose 4}^{2} {10 \choose 5}$ y, en consecuencia,$\left(\frac {2^{10}} {11}\right)^{11}>{10 \choose 1}^{2} {10 \choose 2}^{2} {10 \choose 3}^{2} {10 \choose 4}^{2} {10 \choose 5}$.Por lo tanto $(A)$ es la opción correcta.
Ahora mi pregunta es :
Hay alternativas de manera fácil para determinar la opción anterior?Porque, finalmente, el cálculo es demasiado laborioso y aburrido.Por favor me ayude.
Gracias de antemano.
