Comportamiento asintótico de particiones enteras únicas

Question

Bueno, esta es una de esas preguntas que estoy seguro de que tiene una respuesta muy sencilla que me falta, y agradecería cualquier empuje en la dirección correcta.

Considere la posibilidad de un gran número entero $N$. El robo de un ejemplo de la Wikipedia, deje $N=5$. Claramente, hay un número de maneras de escribir esto como un entero de partición: $$P_5 = \{5, 4+1, 3+2, 3+1+1,2+2+1, 2+1+1+1,1+1+1+1+1\}$$ La cardinalidad de este conjunto es determinado por el número entero función de partición, $|P_5| = p(5) = 7$.

Se sabe que hay una buena fórmula asintótica para $p(N)$ grande $N$ (en mi aplicación, $N$ es mayor de un mil millones de dólares, por lo que es muy bueno de verdad):

$$p(N)\approx \frac{1}{4N\sqrt3}e^{\pi \sqrt{\frac{2N}{3}}}$$

Sin embargo, yo no estoy interesado en la búsqueda de la libre particiones: específicamente desea que el número de particiones que no se repita ningún número en la suma. En el ejemplo anterior, las particiones yo estaría interesado en se $P_5^*=\{5,4+1,3+2\}$, e $|P^*_5| = p^*(5) =3$. Como otro ejemplo, para $N=8$ tendría $P_8^*=\{8, 7+1,6+2,5+3,5+2+1,4+3+1\}$, $p^*(8) = 6$.

Obviamente, esto crece un poco más lento de lo $p(N)$, así que aquí está mi pregunta: ¿existe un gran N fórmula asintótica para $p^*(N)$, y si es así, ¿qué es?

Gracias por vuestras respuestas.

Answer 1

La función de generación de particiones con partes distintas es \begin{align*} \prod_{m=1}^\infty(1+z^m)&=1+z+z^2+2z^3+2z^4\\ &\qquad+\color{blue}{3}z^5+4z^6+5z^7+\color{blue}{6}z^8+8z^9+\cdots \end {align *}

Los coeficientes$p^\star(N)$ son asintóticamente iguales a \begin{align*} \color{blue}{p^\star(N) \sim \frac{3^{3/4}}{12N^{3/4}}\exp\left(\pi\sqrt{\frac{N}{3}}\right)} \end {align *}

Véase la figura I.9 de Analytin Combinatorics de P. Flajolet y R. Sedgewick.