¿Cuando es una superficie mínima de un gráfico y no minimizando de área?

Question

Que $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ ser un subconjunto abierto tal que $\partial\Omega$ es una curva cerrada, simple.

Estoy tratando de encontrar un ejemplo de una $u:\overline{\Omega}\to\mathbb{R}$ $\Sigma:=\text{graph}(u)$ es una superficie mínima y, sin embargo, existe otro mínima superficie $\Sigma'$ $\partial\Sigma'=\partial\Sigma$ y $\text{Area}(\Sigma')<\text{Area}(\Sigma)$.

¿Existe un ejemplo?

Answer 1

Esta es una excelente pregunta. La respuesta es "no". La forma de ver esto es a través de una calibración argumento.

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De fondo en las Calibraciones

Def: Vamos a $(M^n, g)$ ser un colector de Riemann. Una calibración en $M$ $p$forma $\varphi \in \Omega^p(M)$ la satisfacción de:

1. $d\varphi = 0$, y
2. $|\varphi(v_1, \ldots, v_p)| \leq 1$ por cada ortonormales set$\{v_1, \ldots, v_p\}$$T_xM$.

Una orientada a $p$-dim subespacio $V \subset T_xM$ es calibrado por $\varphi$ fib $\varphi(v_1, \ldots, v_p) = 1$ para algunos orientada a base ortonormales $\{v_1, \ldots, v_p\}$$V$.

Una orientada a $p$-dim submanifold $N^p \subset M^n$ es calibrado por $\varphi$ fib cada espacio de la tangente $T_xN \subset T_xM$ es calibrado por $\varphi$.

El siguiente teorema es debido a la F. Reese Harvey y H. Blaine Lawson (1982):

Teorema Fundamental de las Calibraciones: Vamos a $(M^n, g)$ ser una de Riemann colector y $\varphi$ una calibración. Deje $N, N' \subset M$ dos compacta, orientada, $p$-dim submanifolds con $\partial N = \partial N'$. Si $N$ es calibrado por $\varphi$,$\text{Area}(N) \leq \text{Area}(N')$.

Prueba: el Uso de ese $N$ es calibrado en primer lugar, a continuación, Stokes Teorema de segundo, la definición de calibración en tercer lugar, tenemos $$\text{Area}(N) = \int_{N} \varphi = \int_{N'} \varphi \leq \text{Area}(N'). \ \ \ \lozenge $$

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Aplicación: Gráfica de las Superficies Mínimas en $\mathbb{R}^3$

Deje $u \colon \overline{\Omega} \to \mathbb{R}$ ser tal que $\Sigma := \text{Graph}(u)$ es un mínimo de la superficie en $\mathbb{R}^3$. Con respecto a $\Sigma$ como el nivel de $\{v(x,y) = 0\}$ donde $v(x,y) := z - u(x,y)$, vemos que una unidad normal de campo vectorial a $\Sigma$ es $$N_u = \frac{\nabla v}{\Vert \nabla v \Vert} = \frac{(-u_x, -u_y, 1)}{\sqrt{1 + (u_x)^2 + (u_y)^2}}.$$ Definir el $2$forma $\varphi_u \in \Omega^2(\mathbb{R}^3)$ a través de $$\varphi_u(X,Y) = \det(X,Y, N_u) = (X \times Y) \cdot N_u.$$ El siguiente ejercicio, junto con el Teorema Fundamental de arriba, da el resultado:

Ejercicio: (a) El $2$forma $\varphi_u$ es una calibración en $\mathbb{R}^3$. Que es:

1. $d\varphi_u = 0$, y
2. $|\varphi_u(X,Y)| \leq 1$ por cada ortonormales set$\{X,Y\}$$T_x\mathbb{R}^3$.

(b) La superficie de $\Sigma = \text{Graph}(u)$ es calibrado por $\varphi_u$. Que es: Si $\{X,Y\}$ es una orientada a ortonormales conjunto habiendo $X,Y \in T_x\Sigma$,$\varphi_u(X,Y) = 1$.