¿Cómo de buena es esta aproximación de $n$ ¿Factorial?

Question

Para fijos $n\geq 1$ considere la suma $$S_n:=\sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{e^k}.$$ Si se calcula esta suma para algunos valores pequeños de $n$ verá que se parece mucho a $n!$ . El hecho de que sea algo cerca de $n!$ no es demasiado sorprendente porque $S_n$ "debería" ser similar a la siguiente integral $$n! = \int_0^\infty \frac{x^n}{e^x}dx.$$ Sin embargo, la precisión de la aproximación parece ser sorprendentemente buena (¡consulta algunos valores pequeños en Wolfram Alpha y compruébalo tú mismo!).

Pregunta: ¿Existe una buena manera de demostrar que $S_n$ está limitada por encima por $(1+\varepsilon) n!$ para cada $n\geq1$ donde $\varepsilon$ es una constante positiva explícita "próxima" a $0$ ?

Tras comprobar algunos valores pequeños de $n$ parece que $n=3$ podría ser el peor valor para un límite superior de este tipo. Tenga en cuenta que, para muchos valores de $n$ (quizás para la mayoría $n$ ), se da el caso de que $S_n<n!$ .

Si piensa en $S_n$ como una suma de Riemann que aproxima la integral, entonces la $k$ se aproxima al área bajo la curva entre $x=k-1$ y $x=k$ por el valor del extremo derecho de este intervalo (es decir, por $\frac{k^n}{e^k}$ ). La función $\frac{x^n}{e^x}$ aumenta para $0\leq x<n$ y decreciente para $x>n$ . Por lo tanto, para $k\leq n$ El $k$ está sobreestimando el área y para $k\geq n+1$ es subestimarlo. Mágicamente, parece que los términos de sobreestimación y subestimación se cancelan perfectamente y nos dan un resultado muy cercano a $n!$ . ¿Alguien sabe si este fenómeno se produce para todos los $n$ y si existe una buena razón para que esto ocurra?

Por cierto, aquí hay una conexión con los números eulerianos, por si a alguien le interesa. Resulta que $$S_n = \frac{e\cdot \sum_{m=0}^{n-1}A(n,m)e^m}{(e-1)^{n+1}}$$ donde $A(n,m)$ es el número de permutaciones de $1,\dots,n$ con exactamente $m$ "ascensos". Interesante, $A(n,0)+A(n,1)+\cdots +A(n,n-1)=n!$ (ya que cada permutación tiene algún número de ascensos) pero esto no parece ser terriblemente útil ya que existen estos factores de $e$ y $e-1$ flotando por todas partes.

Answer 1

Para cualquier $\alpha > 0$ tenemos que $\sum_{k\geq 1}e^{-\alpha k}=\frac{1}{e^{\alpha}-1}$ diferenciando ambos lados $n$ veces con respecto a $\alpha$ obtenemos que $$ (-1)^n\sum_{k\geq 1} k^n e^{-\alpha k} = \frac{d^n}{d\alpha^n}\,\frac{1}{e^\alpha-1}=\frac{d^n}{d\alpha^n}\left[\frac{1}{\alpha}+\sum_{m\geq 1}\frac{B_m}{m!}\alpha^{m-1}\right] \tag{1}$$ por lo tanto: $$ (-1)^n \sum_{k\geq 1} k^n e^{-\alpha k} = \frac{n!(-1)^n}{\alpha^{n+1}}+\sum_{m\geq n+1}\frac{B_m}{m!}\cdot\frac{(m-1)!}{(m-n-1)!}\alpha^{m-n-1}\tag{2} $$ y evaluando en $\alpha=1$ llega la magia: $$ \sum_{k\geq 1}\frac{k^n}{e^k} = \color{red}{n!}+(-1)^n \sum_{m\geq n+1}\frac{B_m}{m(m-n-1)!}\tag{3} $$ El comportamiento de Números de Bernoulli (Voy a hablar de números de Bernoulli con índice par, ya que todo número de Bernoulli con índice impar es cero, a excepción de $B_1$ ) es bastante errático: hasta $B_{12}$ son todos menores que uno en valor absoluto, entonces su valor absoluto empieza a crecer bastante rápido: $|B_{2 n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n}$ para valores grandes de $n$ . Dado que la serie de restos en $(3)$ converge bastante rápido y los primeros números de Bernoulli son esencialmente despreciables, para valores pequeños de $n$ (a saber $n\leq 16$ ) $S_n$ y $n!$ están muy cerca, como se conjeturaba.

Answer 2

Por el Fórmula de Euler-Maclaurin ,

$$S_n\approx n!-\frac1{2e}$$

Se pueden obtener mejores aproximaciones tomando más términos.

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \left.\sum_{k = 1}^{\infty}{k^{n} \over \expo{k}}\right\vert_{\ n\ \geq\ 0} & = -\delta_{n0} + \sum_{k = 0}^{\infty}{k^{n} \over \expo{k}} = -\delta_{n0} + \int_{0}^{\infty}{k^{n} \over \expo{k}}\,\dd k + \left.{1 \over 2}{k^{n} \over \expo{k}}\right\vert_{\ k\ =\ 0} -2 \int_{0}^{\infty}{\Im\pars{\bracks{\ic x}^{n}/\expo{\ic x}} \over \expo{2\pi x} - 1}\,\dd x \\[5mm] & = -\,{1 \over 2}\,\delta_{n0} + n! - 2\left\{\begin{array}{lcl} \ds{-\pars{-1}^{n/2}\int_{0}^{\infty}{x^{n}\sin\pars{x} \over \expo{2\pi x} - 1}\,\dd x} & \mbox{if} & \ds{n}\ \mbox{is}\ even \\[3mm] \ds{\phantom{-\,}\pars{-1}^{\pars{n - 1}/2}\int_{0}^{\infty}{x^{n}\cos\pars{x} \over \expo{2\pi x} - 1}\,\dd x} & \mbox{if} & \ds{n}\ \mbox{is}\ odd \end{array} \De acuerdo. \Fin.

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$$ \left.\vphantom{\large A}n!\,\right\vert_{\ n\ \geq\ 0} = \sum_{k = 1}^{\infty}{k^{n} \over \expo{k}} + {1 \over 2}\,\delta_{n0} + 2\left\{\begin{array}{lcl} \ds{-\pars{-1}^{n/2}\int_{0}^{\infty}{x^{n}\sin\pars{x} \over \expo{2\pi x} - 1}\,\dd x} & \mbox{if} & \ds{n}\ \mbox{is}\ even \\[3mm] \ds{\phantom{-\,}\pars{-1}^{\pars{n - 1}/2}\int_{0}^{\infty}{x^{n}\cos\pars{x} \over \expo{2\pi x} - 1}\,\dd x} & \mbox{if} & \ds{n}\ \mbox{is}\ odd \end{array}\right. $$

Error relativo parcela:

Error absoluto trama: Está empeorando a medida que $\ds{n > 16}$ . Este comportamiento se analiza a fondo en Respuesta de @Jack D'Aurizio .