Extensión derecha Kan de $\mathcal{F} : \mathsf{\Delta} \rightarrow \mathsf{Top}$.

Question

Mi pregunta surgió mientras estudiaba algo acerca de Kan Extensiones.

Sabemos que tenemos el siguiente diagrama

$$ \begin{array}{ccc} &&\mathsf{\Delta} & \xrightarrow{\mathcal{F}} & \mathsf{Top}\\ &&\mathcal{y} \searrow& & \nearrow Lan_{\mathcal{y}\mathcal{F}}\\ &&& \mathsf{sSet}, &&&& \end{array} $$ donde $Lan_{\mathcal{y}\mathcal{F}}$, representa la izquierda Kan Extensión de $\mathcal{F}$ a lo largo de la Yoneda Incrustación $\mathcal{y}$, de la simple categoría de $\mathsf{\Delta}$ dentro de la categoría de su presheaves. Ahora, debido a que la categoría de espacios topológicos es co-completa y la simple categoría de pequeños sabemos que la izquierda Kan Extesnsion existe. Sin embargo, para $\mathcal{F}$ siendo el functor $$[n] \mapsto |\Delta^n|,$$ llegamos a un lugar conocido functor denotado por $|-|$, llamado geométrico de realización, que queda adjunto de la singularización functor, $$ S : \mathsf{Top} \rightarrow \mathsf{sSet} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, Y \mapsto S_Y = \mathsf{hom}_\mathsf{Top}( \mathcal{F}[-],Y).$$ Ahora, debido a la particular estructura de estas categorías poseen, significa que el derecho Kan Extensión de $\mathcal{F}$ a lo largo de la Yoneda Incrustación $\mathcal{y}$ no existen, y por otra parte tenemos una cierta contigüidad de la forma $Lan_{\mathcal{y}} \dashv - \circ \mathcal{y} \dashv Ran_{\mathcal{y}}.$ Con todo lo anterior es evidente lo que la izquierda Kan extensión es, sin embargo, no estoy seguro acerca de la de la derecha. Puede usted explicar lo que es este functor? (Si no he hecho algo mal hasta ahora :))

También por primera contigüidad he mencionado, $|-| \dashv S$, hay alguna categórica teórico de la visión (un argumento derivadas de Kan Extensión de la teoría, por ejemplo) que impone estos functors ser adjoints?

Answer 1

Es una forma extraña de pato, este derecho Kan extensión, y trivial más a menudo de lo que piensas! Saltar al final de esta larga respuesta para ver ejemplos.

Llame a la derecha Kan extensión buscas $R : \mathsf{sSet} \to \mathsf{Top}$. Utilizando la fórmula para el Kan de extensión como una final, se obtiene que para cualquier conjunto simplicial $X$, $$R(X) = \int_{[n]\in\mathsf\Delta} |\Delta^n|^{\mathsf{hom}_\mathsf{sSet}(X, \Delta^n)}.$$

Ahora mira que el exponente, $\mathsf{hom}_\mathsf{sSet}(X, \Delta^n)$. El conjunto simplicial $\Delta^n$ es el nervio de la categoría $[n]$, que es el poset $0 \le 1 \le 2 \le \cdots \le n$ pensado como una categoría en la forma habitual. El nervio functor $N : \mathsf{Cat} \to \mathsf{sSet}$ ha dejado adjoint $\tau_1 : \mathsf{sSet} \to \mathsf{Cat}$ (llamada la categoría fundamental functor). Así que tenemos una natural bijection $\mathsf{hom}_\mathsf{sSet}(X, \Delta^n) \cong \mathsf{hom}_\mathsf{Cat}(\tau_1 X, [n])$.

Esto demuestra que $R(X)$ sólo depende de $\tau_1X$, decir $R = R' \circ \tau_1$ donde $R' : \mathsf{Cat} \to \mathsf{Top}$ es el derecho Kan extensión de su functor $\mathcal{F} : \mathsf\Delta \to \mathsf{Top}$ a lo largo de la functor $\mathsf\Delta \to \mathsf{Cat}$ que envía a $[n] \in \mathsf\Delta$ a la categoría también se llama $[n]$. Como un fin, $$R'(C) = \int_{[n]\in\mathsf\Delta} |\Delta^n|^{\mathsf{hom}_\mathsf{Cat}(C, [n])}.$$

Ahora otro similar ronda de simplificación: en esta categoría se $[n]$ es un preorder y la inclusión $\mathsf{Pre} \to \mathsf{Cat}$ de pre-ordenes en categorías ha dejado adjunto: asociado a una categoría $C$ no es un preorder $C^\mathrm{pre}$ cuyos elementos son los objetos de $C$ e donde: $x \le y$ si hay morfismos $x \to y$$C$. Tenemos una natural bijection $\mathsf{hom}_\mathsf{Cat}(C, [n]) \cong \mathsf{hom}_\mathsf{Pre}(C^\mathrm{pre}, [n])$, donde el pasado $[n]$ denota la obvia poset. De nuevo podemos factor de $R' = R'' \circ (-)^\mathrm{pre}$ y escribir $R'''$ como un derecho Kan extensión.

De hecho, la inclusión de posets en pre-ordenes también tiene un adjunto a la izquierda, por lo que podemos simplificar aún más! Dado un preorder $P$, la relación $\sim$ $x \sim y \iff (x \le y \text{ and } y \le x)$ es una relación de equivalencia y el cociente $P/\!\!\sim$ se convierte en un orden parcial mediante la definición de $[x] \le [y] \iff x \le y$.

Así que, todo sea dicho, tenemos que $R(X)$ sólo depende del poset $P(X):=(\tau_1X)^\mathrm{pre}/\!\!\sim$, y está dado por la fórmula $$R(X) = \int_{[n]\in\mathsf\Delta} |\Delta^n|^{\mathsf{hom}_\mathsf{Poset}(P(X), \Delta^n)}.$$ Es probablemente una buena idea para hacer una pausa y describir este poset más directamente. Los elementos de la poset son clases de equivalencia de 0-simplices de $X$, donde dos 0-simplices $x$ $y$ son equivalentes si existe una trayectoria de 1-simplices de $x$ $y$y también una trayectoria de 1-simplices de$y$$x$. En el poset tenemos $[x] \le [y]$ si existe un directe ruta de acceso de 1-simplices de $x$ $y$(esto no depende de los representantes de la $x$$y$). Observe, en particular, que $P(X)$ depende sólo del 1-esqueleto de la $X$.

OK, ahora algunos ejemplos!

• $R(\Delta^n) = |\Delta^n|$, debido a derecho Kan extensión a lo largo de una fieles functor (aquí, el Yoneda incrustación $y$) realmente amplía el functor $\mathcal{F}$. Desde $P(\Delta^n) = [n]$, esto significa que siempre que $P(X) = [n]$, obtenemos $R(X) = |\Delta^n|$. Por ejemplo, $X$ que es un subsimplicial conjunto de $\Delta^n$ que contiene la columna vertebral (el camino de $0 \to 1 \to \cdots \to n$)$R(X) = |\Delta^n|$.

• Si $X$ tiene la propiedad de que para cualquier $0$-simplices $x$ $y$ hay una trayectoria de 1-simplices de $x$ $y$(y por tanto, también uno de$y$$x$, $P(X)$ tiene un solo elemento y por lo tanto $R(X)$ es un punto. Ejemplos de esto incluyen cualquier simplcial conjunto con sólo un 0-simplex, y conectado Kan complejo.

Añadido posterior: puede simplificar esa última descripción abajo a un límite finito. Dado un poset $P$, vamos a $\mathcal{S}_P$ ser la categoría con los objetos de la orden de preservación de la surjective funciones de la forma $P \to [n]$, y morfismos de $\lambda : P \to [m]$ $\mu : P \to [n]$ser surjective el fin de la preservación de los mapas de $\alpha : [m] \to [n]$$\alpha \circ \lambda = \mu$. Hay un functor $F_P : \mathcal{S}_P \to \mathsf{Top}$$F_P(P \to [n]) = |\Delta^n|$. Entonces este espacio estamos después de que se acaba de $\tilde{R}(P) = \lim F_P$.

Si $P$ es finita poset, entonces este límite finito es un convexo subpolytope de un gran producto de simplices, y no es difícil de calcular en pequeños ejemplos.

• Para un antichain con dos puntos, consigue $[0,1]^2$.
• Para un antichain con tres puntos, consigue $\{(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3) \in [0,1]^6 | x_i \le y_i, x_i \le y_{i+1}\}$ (con índices mod 3).
• Para el poset $a<c>b$ ($a$$b$ incomparable), consigue $\{(x,y_1,y_2) \in [0,1]^3 | x\le y_i\}$, que es una pirámide con base cuadrada.

Answer 2

Voy a tratar de alumbran un poco el oscuro punto. (Co)Extremos están muy potente ya que permite hacer un rápido cálculo, pero a veces se esconde la carne.

La primera cosa a recordar es que cada presheaf $P$ en la categoría de $\mathsf C$ puede ser escrito como la colimit de la Yoneda incrustación sobre la categoría de sus elementos (es un corolario de Yoneda del lexema): $ \DeclareMathOperator*{\colim}{colim} $ $$ P \simeq \colim_{x:a \to P} y(a) $$

Así que si $Q$ es un presheaf en $\mathsf D$ que conmuta con los límites, tenemos las siguientes: $$\begin{split} \hat{\mathsf C}(P,Q\mathcal F) \simeq \lim_{x:a \to P} \hat{\mathsf C}(y(a),Q\mathcal F) \simeq \lim_{x:a \to P} Q(\mathcal F(a)) \\\simeq Q(\colim_{x:a \to P}\mathcal F(a)) \simeq Q(\operatorname{Lan}_y\mathcal F(P)) \end{split}$$ donde el último isomorfismo es a partir de la fórmula habitual de la izquierda Kan extensión.

Ahora que aplica la con $Q$ siendo el functor $\mathsf D(-,d)$ (que conmuta con límites), y se termina con: $$ \hat{\mathsf C}(P,N_\mathcal F(d)) \simeq \mathsf D(\operatorname{Lan}_y\mathcal F(P),d)$$

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Esto es más o menos exactamente la misma que la (co)final de la cadena, pero espero que aporte algo de luz a las personas que no en la facilidad con la (co)final de yoga.

Hechos divertidos. A la izquierda Kan extensiones realmente están en todas partes en este marco:

1. El nerver $N_{\mathcal F}$ es la izquierda kan extensión de $y$ a lo largo de $\mathcal F$.
2. El hecho de que cada presheaf es un canónica colimit se puede expresar por la siguiente: la identidad functor en $\hat{\mathsf C}$ es la izquierda Kan extensión de $y$ a lo largo de $y$.

Esto puede ser una pista de por qué el derecho Kan extensión de $\mathcal F$ no tiene buena propiedad en general en comparación con el de la izquierda.

Answer 3

Porque probablemente alguien (alguien que está marcado con el favorito "estrella") podría estar interesado en la respuesta de la pregunta anterior, me las arreglé para encontrar una respuesta en parte. Así que aquí es una respuesta (con algunos detalles omitidos) para la segunda pregunta.

Como he mencionado anteriormente y alguien puede sospechar, tenemos una especie de natural contigüidad entre dos muy interesante functors, a saber $\mathsf{sSet} \overset{|-|}{\underset{S}\rightleftarrows} \mathsf{Top},$ , por tanto, como (casi) siempre debe ser un buen categórica patrón de detrás del escenario. En nuestro caso, se puede tener la siguiente configuración en lugar de estas categorías específicas. Así que en lugar de $\mathsf{\Delta}$, podemos tener cualquier categoría de pequeña $\mathsf{C}$, en lugar de $\mathsf{Top}$ que puede tener cualquier cocomplete, localmente pequeña categoría de decir $\mathsf{D}$ y supongamos que por $ \mathcal{y}: \mathcal{C} \rightarrow \hat{\mathsf{C}},$ denotamos el llamado Yoneda de la Incrustación. En otras palabras, supongamos que tenemos el siguiente diagrama $$ \begin{array}{ccc} &&\mathsf{C} & \xrightarrow{\mathcal{F}} & \mathsf{D}\\ &&\mathcal{y} \searrow& & \\ &&& \hat{\mathsf{C}}, &&&& \end{array} $$ Porque cualquier izquierda/derecha Kan extensión de punto de sabio puede ser aproximada por cierto colimit/límite (de un diagrama a través de una cierta coma categoría, a quien esté interesado en una descripción detallada que se va a omitir de la simplicidad del amor, de Emily Reihl - Categoría de la teoría en el contexto del último capítulo contiene una exhaustiva prueba de la última) y ya por supuesto de $\mathsf{D}$ es cocomplete, la izquierda Kan extensión de $\mathcal{F}$ a lo largo de $\mathcal{y}$ existe (en esta situación, a veces, la extensión se llama Yoneda Extensión también). Así que, como hacemos con la singularización functor, alguien puede observar que no hay un functor en $\mathsf{D}$ hacer siempre el mismo trabajo como $S$ para $\mathsf{Top}$. De hecho, podemos definir $$ N_{\mathcal{F}}: \mathsf{D} \rightarrow \hat{\mathsf{C}}, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d \mapsto \mathsf{hom}_{\mathsf{D}}(\mathcal{F}-,d),$$ verificación por supuesto para $\mathsf{D}$, que este es un bien definido functor a presheaves de $\mathsf{C}$ de hecho. Ahora, hay un oscuro punto (que el lector probablemente puede ordenar por mirar hacia fuera en el mencionado libro, que la izquierda/derecha Kan extensiones puede ser escrito en términos de co/extremos. Para una descripción estándar de $Lan_{\mathsf{y}}{\mathsf{F}}$ puede ser determinado de la siguiente manera $$ Lan_{\mathsf{y}}{\mathsf{F}} = \int^{c} \mathsf{hom}_{\mathsf{D}}(\mathcal{F}c,-) \thinspace.\mathcal{F}c,$$ donde el punto intermedio representa el subproducto dentro de $\mathsf{D}$. Por lo que mantener todo lo anterior en mente y explotar algunas propiedades básicas (como la contravariante $\mathsf{hom}$ cambiar el coends a los extremos, por ejemplo) de coends podemos probar el adjointness.

$$\mathsf{hom}_{\mathsf{D}}(Lan_{\mathsf{y}}\mathcal{F}, d) = \mathsf{hom}_{\mathsf{D}}( \int^{c} \mathsf{hom}_{\hat{\mathsf{C}}}(\mathcal{y}c,P) . \mathcal{F}c,d)=\int_{c}\mathsf{hom}_{\mathsf{D}}( \mathsf{hom}_{\hat{\mathsf{C}}}(\mathcal{y}c,P) . \mathcal{F}c,d)= \int_{c} \mathsf{hom}_{\mathsf{Set}}(\mathsf{hom}_{\hat{\mathsf{C}}}(\mathcal{y}c,P), \mathsf{hom}_{\mathsf{D}}(\mathcal{F}c,d))=\int_{c}\mathsf{hom}_{\mathsf{Set}}(Pc, \mathsf{hom}_{\mathsf{D}}(\mathcal{F}c,d))= \mathsf{hom}_{\hat{\mathsf{C}}}(P,N_{\mathcal{F}}(d))$$ Por lo tanto, en pura categórica (lenguaje bastante complejo si alguien no conoce la terminología) hay un hormigón patrón detrás de la contigüidad.

P. S.

Para quien quiere ir a través de los detalles de la anterior prueba, puede encontrar respuestas en el siguiente enlace que me parece muy útil en ese contexto https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1501/1501.02503.pdf. Las recomendaciones, pruebas alternas saliendo por la parte superior de su cabeza son más que bienvenidos.