¿Cómo calcular el producto $\prod_{k=0}^{n-1}\left (1+\frac{1}{2^{2^k}}\right)$?

Question

¿Cómo puedo calcular el producto de la serie? $$ \prod_{k=0}^{n-1}\left (1+\frac{1}{2^{2^k}}\right) $$.... ¿Puedo tomar una serie geométrica y compararlo con eso?

Answer 1

Multiplicar por $\frac12=1-\frac1{2^{2^0}}$ llegar

$$\begin{align}\left(1-\frac1{2^{2^0}}\right)\prod_{k=0}^n\left(1+\frac1{2^{2^k}}\right)&=\left(1-\frac1{2^{2^0}}\right)\left(1+\frac1{2^{2^0}}\right)\prod_{k=1}^n\left(1+\frac1{2^{2^k}}\right)\\&=\left(1-\frac1{2^{2^1}}\right)\left(1+\frac1{2^{2^1}}\right)\prod_{k=2}^n\left(1+\frac1{2^{2^k}}\right)\\&=\left(1-\frac1{2^{2^2}}\right)\left(1+\frac1{2^{2^2}}\right)\prod_{k=3}^n\left(1+\frac1{2^{2^k}}\right)\\&=\left(1-\frac1{2^{2^3}}\right)\left(1+\frac1{2^{2^3}}\right)\prod_{k=4}^n\left(1+\frac1{2^{2^k}}\right)\\&=\quad\vdots\\&=\left(1-\frac1{2^{2^{n+1}}}\right)\end{align}$$

$$\prod_{k=0}^n\left(1+\frac1{2^{2^k}}\right)=2-\frac1{2^{2^{n+1}-1}}$$

Answer 2

Como una sugerencia, considere $n = 3$:

$\displaystyle\prod_{k = 0}^{2}\left(1+\dfrac{1}{2^{2^k}}\right) = \left(1+\dfrac{1}{2^1}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^4}\right)$

$= 1 + \dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^1} \cdot \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^1} \cdot \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^2} \cdot \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^1} \cdot \dfrac{1}{2^2} \cdot \dfrac{1}{2^4}$

$= 1 + \dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^5} + \dfrac{1}{2^6} + \dfrac{1}{2^7}$

$= 2-\dfrac{1}{2^7}$

¿Se puede generalizar esto para valores mayores de $n$?

Answer 3

Esto es lo mismo que la respuesta de JimmyK4542, pero en el caso general.

Si expande el producto, encontrará que es la suma de todos los términos posibles de la forma $$\frac{1}{2^{a_0 + a_1 2 + a_2 2^2 + \dots + a_{n-1}2^{n-1}}}$ $ donde cada $a_i$ es o $0$ o $1$. Viendo los exponentes como números enteros escritos en binario, aunque corren todos enteros $j = 0, 1, 2, \dots 2^n - 1$. Por lo tanto encontramos que el producto es igual a $$\sum_{j = 0}^{2^n - 1} \frac{1}{2^j} = 2 - \frac{1}{2^{2^n - 1}}.$ $

Answer 4

Respuesta parcial:

Si yo fuera tú, primero que a $$1+\frac{1}{2^{2^k}}=\frac{2^{2^k}+1}{2^{2^k}}$ $ simplificaría y tenemos $$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2^{2^k}+1}{2^{2^k}}$ $ por esta división, obtenemos $$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{2^k}}*\prod_{k=1}^{n-1}\big(2^{2^k}+1\big)$ $ su penetración sobre allí ser serie geométrica es correcto, porque mira lo que sucede cuando se evalúa el primer producto: $$\frac{1}{2^{2^1}}*\frac{1}{2^{2^2}}*...*\frac{1}{2^{2^{n-1}}}$ $ $$\frac{1}{2^{2^1+2^2+...+2^{n-1}}}$ $ $$\frac{1}{2^{2^n-1}}$ $ tenemos $$\frac{1}{2^{2^n-1}}*\prod_{k=1}^{n-1}\big(2^{2^k}+1\big)$ $ me temo que es lo único que he conseguido... No tengo ni idea de cómo evaluar esa última parte.