Sumas de cuadrados (a prueba)

Question

Demostrar que $n^2 + (n + 1)^2 = m^3$ no tiene soluciones en los enteros positivos.

Supongo que la prueba es por contradicción, pero si lo supongo, no encuentro la contradicción.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Respuesta actualmente incompleta

Yo me voy por ahora a ver si ayuda a alguien y por lo que si pienso algo, puedo editarlo en la respuesta.

$$\begin{align} 2n^2+2n+1=m^3&\implies2n^2+2n=m^3-1\\ &\implies2n(n+1)=(m-1)(m^2+m+1)\\ &\implies m\equiv1\bmod4\\ &\implies2n(n+1)=4k((4k+1)^2+(4k+1)+1)\\ &\implies n(n+1)=32k^3+24k^2+6k\\ \end {Alinee el} $$ para ello utilizar solamente números enteros, $n=2ak$ o $2ak-1$. Sustituyendo en la ecuación rinde %#% $ #%