Una matriz con valores propios iguales a la proporción áurea y el conjugado de oro

Question

Pregunta : Vamos a $A(n)$ ser finito, plaza de $n \times n$ matriz con entradas de $a_{i,j}=1$ si $i+j$ es un poder perfecto; de lo contrario equivale a $0$. Podemos determinar los números de $n$ tales que el polinomio característico de a $A(n)$ tiene al menos dos raíces reales: uno igual a la proporción áurea y el otro igual a el conjugado de oro ?

Para un examlple considerar $$A(8)= \text{ }\begin{pmatrix} 0&0&1&0&0&0&1&1\\ 0&1&0&0&0&1&1&0\\ 1&0&0&0&1&1&0&0\\ 0&0&0&1&1&0&0&0\\ 0&0&1&1&0&0&0&0\\ 0&1&1&0&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&0&0&0&1\\ \end{pmatrix}$$

Yo denotar el polinomio característico de a$A(n)$$\chi_{A(n)}(X)$. Así, por ejemplo,

$$\chi_{A(8)}(X)=X^8-3X^7-5X^6+19X^5+2X^4-31X^3+X^2+10X-3$$

Yo uso la notación estándar $\varphi$ para denotar la proporción áurea y es igual a ${1+\sqrt{5}\above 1.5pt 2}$. El "Golden Conjugado" está escrito como $-{1\above 1.5 pt \varphi}$ y es igual a ${1-\sqrt{5}\above 1.5pt 2}$. Yo uso $\lambda$ para denotar un autovalor de a $\chi_{A(n)}(X)$. En el ejemplo anterior, el polinomio característico $\chi_{A(8)}(X)$ tiene dos autovalores $\lambda_1=-{1\above 1.5 pt \varphi}$ $\lambda_2=\varphi$ . En particular, $\chi_{A(8)}(X)$ tiene exactamente dos raíces: una igual a la proporción áurea y el otro igual a el oro del conjugado.

A continuación es una tabulación de los datos para valores pequeños de a $n$. Los cálculos se realizaron en WOLFRAM ALPHA. Los cálculos deben ser correctos, pero los errores son inevitables. Sólo real de los autovalores se enumeran:

\begin{array}{| l | l | l | l |l|} \hline n & \text{characteristic polynomial} &\text{eigenvalues}\\ \hline 2 & X^2-X & (0,1)\\ 3 & -X^3+X^2+X-1 & (-1,1,1)\\ 4 & X^4-2X^3+2X-1 & (-1,1,1,1)\\ 5 & -X^5+2X^4+2X^3-5X^2+X+1 &(-\lambda_1,\lambda_2,1,1,\lambda_3)\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{X^6-2X^5-4X^4+8X^3+2X^2-4X-1} & \color{blue}{(1,-{1\above 1.5 pt \varphi},\varphi,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)}\\ 7 & -X^7-2X^6+6X^5-11X^4-9X^3+15X^2+2X-4 & (1,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5,\lambda_6) \\ \color{blue}{8} & \color{blue}{X^8-3X^7-5X^6+19X^5+2X^4-31X^3+X^2+10X-3} & \color{blue}{(-{1\above 1.5 pt \varphi},\varphi,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5,\lambda_6)}\\ \color{blue}{9} & \color{blue}{-X^9+3X^8+6X^7-22X^6-5X^5+45X^4-12X^3-22X^2+5X+3} & \color{blue}{(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,-\varphi,\varphi,1,-{1\above 1.5 pt \varphi},1-\varphi,\lambda_4 )}\\ \hline \end{array}

Seguramente $n=6,8,9$ se muestra a responder a la pregunta. Estoy seguro de que si $A(n)$ $\varphi$ como un valor propio, a continuación, también debe tener $-{1\above 1.5 pt \varphi}$ como un valor propio. La motivación aquí es la comprensión de la matriz $A(n)$.

Edit 1: Corrección para tabulados autovalores cuando n=6. En realidad, hay 6 real de los autovalores y me aparece sólo 3. Tres de los autovalores puede ser escrito : $1$, $\varphi$ y $1-\varphi$. Los otros tres, sin embargo, han exacta de las formas que puede estar escrito en $i=\sqrt{-1}$.

$$\lambda_1 = {\sqrt[3]{\frac{1}{2}\bigg(9 + i \sqrt{687}\bigg)}\above 1.5 pt 3^{2/3}} + {4 \above 1.5pt {\sqrt[3]{\frac{3}{2} \bigg (9 + i \sqrt{687}\bigg)}}}$$

$$\lambda_2 = {\bigg(1-i\sqrt{3}\bigg)\sqrt[3]{\frac{1}{2}\bigg(9 + i \sqrt{687}\bigg)}\above 1.5 pt 2\times 3^{2/3}} - {2(1+i\sqrt{3})\above 1.5pt {\sqrt[3]{\frac{3}{2} \bigg (9 + i \sqrt{687}\bigg)}}}$$

$$\lambda_3 = -{\bigg(1+i\sqrt{3}\bigg)\sqrt[3]{\frac{1}{2}\bigg(9 + i \sqrt{687}\bigg)}\above 1.5 pt 2\times 3^{2/3}} - {2(1-i\sqrt{3})\above 1.5pt {\sqrt[3]{\frac{3}{2} \bigg (9 + i \sqrt{687}\bigg)}}}$$

Numéricamente los autovalores $\lambda_1,\lambda_2$ $\lambda_3$ son real - en particular el imaginario términos se anulan. Explícitamente $\lambda_1\approx 2.11491\ldots$, $\lambda_2\approx -.618034\ldots$,$\lambda_3\approx -.254102\ldots$

Edit 2: $A(n)$ nunca ha complejo de autovalores para cualquier $n$. He incluido la falta de valores propios en la tabla. También he corregido los errores en la tabla de $n=5$. Ninguna de las correcciones de cambiar el resultado/conjetura del problema. Es decir, que $6,8$ $9$ son sólo números enteros tales que a $A(n)$ tiene un autovalores igual a $\varphi$ o $-{1\above 1.5 pt \varphi}$.

Para $n=5$ los valores corregidos son numéricamente $\lambda_1 \approx 1.87939\ldots$, $\lambda_2\approx -1.53209\ldots$,$\lambda_3=1$,$\lambda_4=$, $\lambda_5 \approx -0.347296\ldots$ Estos valores tienen exacta de formas similares a los radicales se muestra en la Edición de 1 de más arriba

Para $n=7$ $6$ valores perdidos son numéricamente $\lambda_1 \approx 2.38839\ldots$, $\lambda_2\approx -1.9041\ldots$,$\lambda_3\approx 1.77217\ldots$,$\lambda_4\approx -1.33388\ldots$, $\lambda_5 \approx 0.0.64993\ldots$,$\lambda_6 \approx -0.572499 \ldots$.

Para $n=8$ $6$ valores perdidos son numéricamente $\lambda_1 \approx 2.48767\ldots$, $\lambda_2\approx -1.98486\ldots$,$\lambda_3\approx 1.77268\ldots$,$\lambda_4\approx -1.39899\ldots$, $\lambda_5 \approx 0.827404\ldots$,$\lambda_6 \approx 0.296099 \ldots$.

Para $n=9$ $4$ valores perdidos son numéricamente $\lambda_1 \approx 2.54926\ldots$, $\lambda_2\approx -2.03439\ldots$,$\lambda_3\approx 1.80552\ldots$,$\lambda_4\approx 0.320385\ldots$ Estos valores tienen exacta de formas similares a los radicales se muestra en la Edición de 1 de arriba.

Conjetura: $6,8$ o $9$ son los únicos números $n$ tales que el polinomio característico de a $A(n)$ tiene los autovalores: uno igual a el cociente de oro y otra igual a la de oro conjugado.

Answer 1

$n < 500$ Parece que $6,8,9$ son las únicas soluciones. Aquí está algo de código Python para comprobar. El algoritmo funciona señalando que $\phi$ y $-1/\phi$ son valores propios de $M$ si y sólo si $M^2 - M - I$ es singular. Era pereza escribir código para comprobar si un número entero era una potencia perfecta, así que copié parte de la lista de OEIS.

import numpy as np

def is_invertible(a):
     return a.shape[0] == a.shape[1] and np.linalg.matrix_rank(a) == a.shape[0]

perfect_powers = [1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 
                  121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 
                  289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 
                  625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 
                  1089, 1156, 1225, 1296, 1331, 1369, 1444, 1521, 
                  1600, 1681, 1728, 1764]

A = []

for n in range(1,10):

    M = [[0]*n] *n
    M = np.matrix(M)

    for m in [m for m in perfect_powers if m <= 2*n]:
        for i in range(n):
            j = m - (i+1) -1 #find solutions to (i+1) + (j+1) = m
            if j in range(n): 
                M[i,j] = 1

    if not is_invertible(M*M - M - np.identity(n)):
        A.append(n)
    print n, n in A
print A

Devuelve

1 False
2 False
3 False
4 False
5 False
6 True
7 False
8 True
9 True
[6, 8, 9]