¿Un campo infinito siempre es isomorfo a un campo de fracción no trivial?

Question

De la nada, me hice la siguiente pregunta:

Es un infinito campo siempre isomorfo a la fracción de campo de un integrante del dominio, que es el sí mismo no es un campo?

Por favor, tenga en cuenta que la configuración evitar responder por un campo es su propia fracción de campo.

Creo que esta pregunta es natural, ya que es una especie de conversar a la siguiente:

La proposición. Los anillos que puede ser embebido en algún campo son exactamente la integral de dominios.

Como fracción de los campos no tienen las propiedades características de la que soy consciente, yo estoy perdido sobre la forma de abordar este problema. Cualquier iluminación será muy apreciada!

Edición 1. Mi pregunta sólo implica el infinito como un campo finito integral de dominio es en sí mismo un campo y el resultado no pudo ser cierto en este caso. - señaló por carmichael561 en los comentarios de abajo.

Edición 2. El resultado se mantiene para el campo de característica cero. - enlace proporcionado por Arthur. Por ahora, la pregunta interesante es el siguiente:

Es un infinito campo de la primer característica isomorfo a un no-trivial de la fracción de campo?

Answer 1

Un campo de $K$ es la fracción de campo adecuado de un sub-anillo iff $K$ no es algebraico sobre $\mathbb{F}_p$ algunos $p$. En primer lugar, si $K$ es algebraico sobre $\mathbb{F}_p$, entonces cada sub-anillo de $K$ es un campo (desde el sub-anillo generado por un solo elemento es finito y limitado de dominio es un campo), por lo $K$ no puede ser la fracción de campo adecuado de un sub-anillo.

Por el contrario, si $K$ no es algebraico sobre $\mathbb{F}_p$ cualquier $p$, vamos a $B$ ser una trascendencia base para $K$ sobre el primer campo y deje $R$ ser el sub-anillo de $K$ generado por $B$. Tenga en cuenta que$R$, no es un campo: si $K$ tiene características de las $0$, esto es debido a que $R$ es un polinomio anillo de más de $\mathbb{Z}$, y si $K$ tiene características de las $p$, esto es debido a que $R$ es un polinomio anillo de más de $\mathbb{F}_p$ en al menos una variable desde $B$ es no vacío por hipótesis. Deje $S$ ser la integral de cierre de $R$$K$. Desde $K$ es algebraico sobre $R$, $K$ es el campo de fracciones de $S$. Desde $S$ integral $R$$R$, no es un campo, $S$, no es un campo cualquiera.