Yo amigo mío me envió este problema hace un tiempo, pero yo todavía no puedo entender. (Él no puede entenderlo cualquiera.) Pensé que aquí sería un buen lugar para pedir ayuda.
Probar: $$\prod_{n=2}^\infty \frac{1}{e^2}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n=\frac{e^3}{4\pi}$ $
El logaritmo de la LHS es igual a
$$ L=\sum_{n\geq 2}\left[-2+2n\,\text{arctanh}\frac{1}{n}\right]=\sum_{n\geq 2}\sum_{m\geq 1}\frac{1}{\left(m+\frac{1}{2}\right)n^{2m}}=\sum_{m\geq 1}\frac{\zeta(2m)-1}{m+\frac{1}{2}}\tag{1} $ $ y podemos recordar que $$ \frac{1-\pi z\cot(\pi z)}{2} = \sum_{m\geq 1}\zeta(2m) z^{2m} \tag{2} $ $ para obtener que: $$ L = \int_{0}^{1}\left(\frac{1-3z^2}{1-z^2}-\pi z\cot(\pi z)\right)\,dz\tag{3} $ $ y $L=3-\log(4\pi)$ se deduce la conexión entre el primitivo de $z\cot(z)$ y la dilogarithm, demostrando la conjetura indicada: $$ \int z\cot(z)\,dz = z\log\left(1-e^{2iz}\right)-\frac{i}{2}\left(z^2+\text{Li}_2(e^{2iz})\right)\tag{4} $ $
¡Bonita pregunta!
Considerar el producto parcial
$$P_N = \prod_{n=2}^{N} \frac1{e^2} \left (\frac{n+1}{n-1} \right )^n $$
Por escrito los términos de $P_N$, podemos encontrar fácilmente una expresión simple para él:
$$P_N = e^{-2(N-1)} \frac{N^{N-1} (N+1)^N}{2 (N-1)!^2} $$
El resultado se sigue utilizando la aproximación de Stirling, así como la definición de $e$ $N \to \infty$:
$$(N-1)! \approx \sqrt{2 \pi (N-1)} (N-1)^{N-1} e^{-(N-1)} $$
$$ (N+1)^N \approx e N^n $$
En primer lugar, recombinando términos da $$\begin{align} \prod_{n=2}^m\color{#C00}{\frac{1}{e^2}}\left(\frac{\color{#090}{n+1}}{\color{#00F}{n-1}}\right)^n &=\color{#C00}{\frac1{e^{2(m-1)}}}\color{#090}{\prod_{n=3}^{m+1}n^{n-1}}\color{#00F}{\prod_{n=1}^{m-1}n^{-n-1}}\\ &=\frac1{e^{2(m-1)}}\left(\frac{(m+1)^m}2\prod_{n=1}^mn^{n-1}\right)\left(m^{m+1}\prod_{n=1}^mn^{-n-1}\right)\\ &=\frac1{e^{2(m-1)}}\frac{(m+1)^mm^{m+1}}{2m!^2} \end {Alinee el} $$ entonces, aplicar Stirling, obtener $$\begin{align} \lim_{m\to\infty}\frac1{e^{2(m-1)}}\frac{(m+1)^mm^{m+1}}{2m!^2} &=\lim_{m\to\infty}\frac1{e^{2m-3}}\frac{m^{2m+1}e^{2m}}{4\pi m^{2m+1}}\\ &=\frac{e^3}{4\pi} \end {Alinee el} $$
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$
$\ds{\mc{P}_{N} \equiv \prod_{n = 2}^{N}\bracks{{1 \over \expo{2}}\pars{n + 1 \sobre n-1}^{n}}\,,\qquad \lim_{N \to \infty}\mc{P}_{N} = {\expo{3} \más de 4\pi}:\ {\large ?}}$
$$ \begin{array}{c} {\large\mathsf{I'll\ show\ that\ \,\mc{P}_{N}\ has\ a\ closed\ expression.}} \\ \bbox[15px,#ffe,border:1px dotted navy]{\large% \mbox{A full and}\ \underline{detailed\ derivation}\ \mbox{is given as follows:}} \end{array} $$ \begin{align} \ln\pars{\mc{P}_{N}} & = \sum_{n = 2}^{N}\bracks{-2 + n\,\ln\pars{n + 1 \over n - 1}} = \sum_{n = 2}^{N}\bracks{% -2\int_{0}^{1}\dd t + n\int_{0}^{1}{2\,\dd t \over 2t + n - 1}} \\[5mm] & = 2\int_{0}^{1}\pars{1 - 2t}\sum_{n = 0}^{N - 2}{1 \over n + 2t + 1}\,\dd t \\[5mm] & = 2\int_{0}^{1}\pars{1 - 2t} \sum_{n = 0}^{\infty}\pars{{1 \over n + 2t + 1} - {1 \over n + N + 2t}}\,\dd t \\[5mm] & =\int_{0}^{1}\pars{1 - 2t} \partiald{}{t}\ln\pars{\Gamma\pars{2t + N} \over \Gamma\pars{2t + 1}}\,\dd t \\[5mm] & = -\ln\pars{\Gamma\pars{2 + N} \over \Gamma\pars{3}} - \ln\pars{\Gamma\pars{N} \over \Gamma\pars{1}} + \int_{0}^{2}\ln\pars{\Gamma\pars{t + N} \over \Gamma\pars{t + 1}}\,\dd t \\[1cm] & = -\ln\pars{\bracks{N + 1}\Gamma\pars{N + 1}} + \ln\pars{2} - \ln\pars{\Gamma\pars{N + 1} \over N + 1} \\[3mm] & \phantom{=\,\,\,}+ \int_{0}^{2}\ln\pars{\Gamma\pars{t + N} \over \Gamma\pars{t + 1}}\,\dd t \\[1cm] & = \int_{0}^{2}\ln\pars{\Gamma\pars{t + N} \over \Gamma\pars{t + 1}}\,\dd t - 2\ln\pars{N!} + \ln\pars{2}\label{1}\tag{1} \end{align}
Sin embargo,
\begin{align} &\partiald{}{\alpha}\int_{0}^{2}\ln\pars{\Gamma\pars{t + \alpha}}\,\dd t = \int_{0}^{2}\partiald{\ln\pars{\Gamma\pars{t + \alpha}}}{t}\,\dd t = \ln\pars{\Gamma\pars{\alpha + 2} \over \Gamma\pars{\alpha}} = \ln\pars{\bracks{\alpha + 1}\alpha} \\[5mm] & \implies \int_{0}^{2}\ln\pars{\Gamma\pars{t + N} \over \Gamma\pars{t + 1}}\,\dd t = \int_{1}^{N}\ln\pars{\bracks{\alpha + 1}\alpha}\,\dd\alpha \\[5mm] & = 2 - 2N + \ln\pars{N + 1} - 2\ln\pars{2} + N\ln\pars{N} + N\ln\pars{N + 1} \label{2}\tag{2} \end{align}
\eqref{1} y \eqref{2} rendimiento
\begin{align} \ln\pars{\mc{P}_{N}} & = 2 - 2N + \ln\pars{N + 1} - \ln\pars{2} + N\ln\pars{N} + N\ln\pars{N + 1} -2\ln\pars{N!} \\[1cm] & \stackrel{\mrm{as}\ N\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\,\require{cancel} 2 - \cancel{2N} + \bracks{\cancel{\ln\pars{N}} + \ln\pars{1 + {1 \over N}}} - \ln\pars{2} + \cancel{N\ln\pars{N}} \\[3mm] & + \bracks{\cancel{N\ln\pars{N}} + N\ln\pars{1 + {1 \over N}}} - 2\bracks{{1 \over 2}\ln\pars{2\pi} + \cancel{\pars{N + {1 \over 2}}\ln\pars{N}} - \cancel{N}} \\[1cm] & \stackrel{\mrm{as}\ N\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, 2 +\ \underbrace{N\ln\pars{1 + {1 \over N}}} _{\ds{\to\ 1\ \,\mrm{as}\ N\ \to\ \infty}}\ -\ \ln\pars{4\pi} \implies \bbx{\lim_{N \to \infty}\mc{P}_{N} = \ln\pars{\mrm{e}^{3} \over 4\pi}} \end{align}
Esto es demasiado largo para un comentario.
A partir de la respuesta de robjohn, es interesante notar que podemos aproximar con bastante precisión lo productos parcial $$P_m=\prod_{n=2}^m\frac{1}{e^2}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n$ aproximación de Stirling utiliza $ con más términos $$ P_m = \frac {e ^ 3} {4 \pi} \left (1 \frac {2} {3 m} + \frac {5} {9 m ^ 2}-\frac {209} {405 m^3}+O\left(\frac{1}{m^4}\right)\right)$ $ $$ \left (\begin{array}{ccc} m & \text{exact} & \text{approximation} \\ 5 & 1.415232961 & 1.414162459 \\ 10 & 1.499926976 & 1.499854086 \\ 15 & 1.531035192 & 1.531020352 \\ 20 & 1.547199306 & 1.547194537 \\ 25 & 1.557103354 & 1.557101382 \\ 30 & 1.563794263 & 1.563793306 \\ 35 & 1.568617521 & 1.568617002 \\ 40 & 1.572259374 & 1.572259069 \\ 45 & 1.575106537 & 1.575106346 \\ 50 & 1.577393544 & 1.577393418 \end{matriz} \right)$$
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