Encontrar dos funciones (densidad) $g,f$ que satisface algunas condiciones

Question

¿Hay alguna forma inteligente de encontrar dos funciones de densidad? $f$ y $g$ que cumplan las siguientes condiciones?

$$\begin{align*} \int_{\infty}^{m}\int_{-\infty}^{\infty}f(w)f(w+z)\,dw\,dz&=\int_{\infty}^{m}\int_{-\infty}^{\infty}g(w)g(w+z)\,dw\,dz\\ \int_{\infty}^{m+2}\int_{-\infty}^{\infty}f(w)f(w+z)\,dw\,dz&=\int_{\infty}^{m+1}\int_{-\infty}^{\infty}g(w)g(w+z)\,dw\,dz\\ \int_{-\infty}^{\infty}f(w)\,dw&=\int_{-\infty}^{\infty}g(w)\,dw=M\\ \end{align*}$$ donde $f\gt 0$ y $g\gt 0$ ¿en casi todas partes?

para $m\in (-\delta,\delta)$ y $\delta$ es un número pequeño.

Mi intención principal es llegar a dos variables aleatorias i.i.d, $X'$ y $X''$ y $Y$ y $Y''$ , de tal manera que $\operatorname{\mathbb{Pr}}(m> Y'-Y'')=\operatorname{\mathbb{Pr}}(m>X'-X'')$ para $m \in (-b,b)$ para algunos $b$ lo suficientemente pequeño, mientras que $\operatorname{\mathbb{Pr}}(m+2> Y'-Y'')=\operatorname{\mathbb{Pr}}(m+1> X'-X'')$ ¿Es esto posible?

Muchas gracias de antemano por su apreciada ayuda.

Answer 1

Por qué no ves si puedes trabajar con la función característica. Esto está casi relacionado con la divisibilidad, en cuyo caso sólo hay que examinar las funciones características con raíces.

Mira las funciones características de Eugene Lukacs.