¿Una manera de evaluar integrales sin hacer nada?

Question

El usuario conoce como sos440 publicado esto: $$\begin{align*} \sum_{n=0}^\infty \frac{r^n}{n!} \int_0^\infty x^n e^{-x} \; dx & = \int_{0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{(rx)^n}{n!} e^{-x} \; dx = \int_0^\infty e^{-(1 - r)x} \; dx \\ & = \frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^\infty r^n \end{align*}$$ (citando Tonelli del teorema de justificar el intercambio de la suma y la integral), y concluyó que $$\frac{1}{n!}\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx=1.$$

Esta es una muy aislado cosa o simplemente un ejemplo de algo que generalmente útil para algunos mucho más amplia de la clase de integrales? (Obviamente, lo que se ve abajo es cierto en general, pero, ¿cómo generalmente es útil?)

$$\sum_{n=0}^\infty r^n \int_A f_n(x)\,dx = \int_A \sum_{n=0}^\infty \big( r^nf_n(x) \big) \, dx = \int_A g(r,x) \, dx = h(r) = \sum_{n=0}^\infty c_n r^n$$ $$\, por tanto \int_A f_n(x)\,dx = c_n.$$

Answer 1

En lugar de tratar y abordar esta cuestión en general aquí se da otro---espero que lo suficientemente diferente---ejemplo del uso de este tipo de maquinaria.

Supongamos que estamos interesados en las integrales de la forma $$\begin{equation*} \int_0^{2\pi} x^n \sin x\, dx \quad\textrm{ or }\quad \int_0^{2\pi} x^n \cos x \, dx, \end{ecuación*}$$ donde $n\in\mathbb{N}$. Es natural considerar el más general integral $$\begin{equation*} I_n = i\int_0^{2\pi} x^n e^{i x}\, dx. \end{ecuación*}$$ (Un factor de $i$ ha sido introducido por conveniencia.) Entonces $$\begin{eqnarray*} I(r) &\equiv& \sum_{n=0}^\infty \frac{(i r)^n}{n!}I_n \\ &=& i\int_0^{2\pi} e^{i (r+1) x}dx \\ &=& \frac{e^{2\pi i r}-1}{1+r} \\ &=& \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}\frac{(2\pi i)^{n-k}}{(n-k)!}\right)r^n. \end{eqnarray*}$$ (La última de la serie es el producto de Cauchy de la serie de Taylor para $1/(1+r)$ y la serie de Taylor para $e^{2\pi i r}-1$.) Por lo tanto, $$\begin{equation*} \int_0^{2\pi} x^n e^{i x}\, dx = \frac{n!}{i^{n+1}}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \frac{(2\pi i)^{n-k}}{(n-k)!}.\tag{1} \end{ecuación*}$$ Tomando la real y la parte imaginaria de (1) podemos encontrar fórmulas explícitas para el original de las integrales: $$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} x^n \cos x\, dx &=& n!\sum_{m=0}^{\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor} (-1)^m\frac{(2\pi)^{n-2m-1}}{(n-2m-1)!} \\ \int_0^{2\pi} x^n \sin x\, dx &=& n!\sum_{m=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} (-1)^{m+1}\frac{(2\pi)^{n-2m}}{(n-2m)!}. \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Nada mágico :-) (si no me equivoco la pregunta.) Si $f(r)$ es una función analítica alrededor de $r_0=0$ la expansión de Taylor es única. Cede, $$f (r) = \sum_ {n = 1} ^ {\infty} c_nr ^ n,$$ donde $r\in(-a,a)$, $a>0$. Así que, si f$(r) = \sum_ {n = 1} ^ {\infty} c_n d_n r ^ n$$es otra serie de energía representación de$f$, entonces el$c_n=c_n d_n$, es decir,$d_n=1$% si$c_n\neq 0$, cualquier cosa es$d_n$ (integral o algo más).

Answer 3

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{r^n}{n!} \int_0^\infty x^n e^{-x} \; dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{r^n}{n!} \left(\int_0^\infty x^n e^{-x} \; dx\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{r^n}{n!} \Gamma(n+1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{r^n}{n!} n! = \sum_{n=0}^\infty r^n$$

Donde $\Gamma(n+1)$ es la función Gamma. Espero que esto es justo.