Un problema de tipo sándwich de jamón

Question

Si $A_1,...,A_n$ son subconjuntos medibles de $S^n$, entonces no es un gran $S^{n-1}$ de corte de cada una de las $A_i$ exactamente en la mitad.

Las herramientas que tengo a mi disposición son los Borsuk Ulam y teorema del Sándwich de Jamón teorema.

Mi idea era reducir al Sándwich de Jamón teorema de la siguiente manera. Ver $S^n$$D^n/S^{n-1}$. Deje $A_1,...,A_n$ ser medibles subconjuntos de a $D^n/S^{n-1}$ y vamos a suponer que no contienen el $S^{n-1}$ a que se contrae a un punto. Por lo que el $A_i's$ son subconjuntos de a $D^n\subset \Bbb{R}^n$. Por el Sándwich de Jamón teorema, debemos escoger un hyperplane que los cortes de cada una de las $A_i$ exactamente en la mitad. En el cociente del espacio de $D^n/S^{n-1}$, este hyperplane es un gran $S^{n-1}$ de corte de cada una de las $A_i$ en la mitad.

Podemos hacer de este riguroso? Hay una solución mejor?

Gracias.

Answer 1

Usted puede simplemente aplicar Borsuk-Ulam teorema directamente.

Definir una función $f$ $S^n$ $\mathbb{R}^n$como sigue:

Si $x$ es un punto en el $S^n$, entonces no es un gran $S^{n-1}$ que es ortogonal al punto de $x$. El $S^{n-1}$ divide $S^n$ en dos regiones. Vamos a llamarlos $U$ $V$ donde $U$ es la región que contiene a $x$. Si $\mu$ es la medida dada, definir $f(x)=(\mu(A_1\cup U), \ldots, \mu(A_n\cup U))$.

Este es un mapa continuo de$S^n$$\mathbb{R}^n$. Así, por Borsuk-Ulam teorema, hay un punto de $y$ tal que $f(y)=f(-y)$. Luego de la gran $S^{n-1}$ ortogonal a $y$ es el deseado.