Lo más relevante que encontré en Google para de Morgan's 3 variable fue: (ABC)' = A' + B' + C'.
No encontré la respuesta a mi pregunta, por lo tanto la preguntaré aquí:
¿Cuál es el teorema de De-Morgan para (A + B + C)'?
¡De nada!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?El teorema de DeMorgan aplicado a $(A + B + C)'$ es el siguiente:
$$(A + B + C)' = A'B'C'{}{}{}{}$$
Estamos $\;\;$NOT(A o B o C) $\;\equiv\;$ Not(A) and Not(B) and Not(C),
lo cual en álgebra booleana es equivalente a $A'B'C'$
Ambas extensiones de DeMorgan definidas para dos variables pueden ser justificadas precisamente porque podemos aplicar DeMorgan de manera anidada, y al hacerlo, reaplicar, etc., al final, es equivalente a una extensión inmediata de su aplicación a tres variables (o más) variables, siempre y cuando estén conectadas por el mismo conector, $\land, \lor$.
Por ejemplo, podemos escribir $(A+B+C)' \equiv \big(A + (B+C)\big)' \equiv \big(A' \cdot (B+C)'\big) \equiv A'\cdot (B'C') \equiv A'B'C'$.
De hecho, siempre que tengamos una serie negada de múltiples variables todas conectadas por el MISMO conector (todas yadas o todas oradas), podemos generalizar DeMorgan incluso para más de tres variables, nuevamente, debido a la asociatividad de los conectores Y y O. Para cualquier número finito arbitrario de variables conectadas:
Entonces, $$(ABCDEFGHIJ)' = A' + B' + C' + \cdots + H' + I' + J'$$
Y $$(A + B + C + \cdots + H + I + J)' = A'B'C'D'E'F'G'H'I'J'$$
La asociatividad de AND y OR es irrelevante aquí. Si existe un homomorfismo H de (S, +) a (R, &), con + y & como binarios, entonces H(a+...+z)=(Ha&...&Hz). NOT((A OR B) OR C)=(NOT(A OR B) AND NOT B)) por clausura y ya que NOT(X OR Y)=(NOT X AND NOT Y). (NOT(A OR B) AND NOT B))=((NOT A AND NOT B) AND NOT C). Uno puede justificar de manera similar que NOT(A OR (B OR C))=(NOT A AND (NOT B AND NOT C)). No se necesita la propiedad de asociatividad, solo las leyes de De Morgan, que es equivalente a decir que ({T, F}, OR) es homomórfico a ({T, F}, AND) por negación.
@Doug: Estoy tentado de marcarte y marcar tus comentarios como inapropiados, ya que esta es una de las muchas ocasiones en las que te has comportado como un desquiciado. Si no dejas de hacerlo y dejas de señalar mis publicaciones para marcarlas como inapropiadas, o no lo reviertes, te marcaré como inapropiado.
OMA
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Este es un ejemplo en el que introducir otra variable proporciona una cierta perspectiva. Sea $D = B\lor C$.
Entonces, tenemos: $$\begin{align} \neg(A\lor B\lor C) &= \neg(A\lor D)\\ &=\neg A \land \neg D \\ &=\neg A \land \neg(B\lor C) \\ &=\neg A \land \neg B \land \neg C \end{align}$$
Por lo tanto: $$\neg(A\lor B \lor C) = \neg A \land \neg B \land \neg C$$
La idea es efectivamente la misma para aún más términos. Por lo tanto podemos tener: $$\neg(P_1 \lor P_2 \lor \cdots \lor P_n) = \neg P_1 \land \neg P_2 \land \cdots \land \neg P_n$$ ...y... $$\neg(P_1 \land P_2 \land \cdots \land P_n) = \neg P_1 \lor \neg P_2 \lor \cdots \lor \neg P_n$$ (Nota: Estoy más familiarizado con esta notación para lógica, así que la estoy usando. $\lor$ es o, $\land$ es y, y $\neg$ es no.)
Este parece ser el mismo que la respuesta (ahora eliminada) del usuario65277. Solo curiosidad por qué...
@coffeemath ¿Tal vez es porque las grandes mentes piensan igual? ¿Cuál es la marca de tiempo en ambos? Te aseguro que no copié su respuesta, si eso es lo que estás insinuando.
Sí, asumí que era al revés. ¡Pero parece un comportamiento muy malo si el usuario65277 simplemente copió tu respuesta y la subió dos días después de la tuya! ¡Tal vez por eso mixedmath la eliminó. Extrañas cosas sucediendo (y +1 para tu respuesta)
user11300
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"+" es una operación cerrada en el conjunto de verdades {T, F}. Esto significa que para cualquier par de valores de verdad "x" y "y", (x+y) puede ser asignado un valor de verdad. En consecuencia, sabemos que para ((a+b)+c)' podemos asignar un valor de verdad a (a+b) y c. (x+y)'=(x'+y') se cumple para cualquier cosa a la que podamos asignar valores de verdad "x" e "y". Por lo tanto, ((a+b)+c)'=((a+b)'+c')=((a'+b')+c').
Podemos generalizar esto a cualquier serie negada de múltiples variables conectadas por conjunción (Y) y disyunción (O), siempre y cuando cambiemos las operaciones a lo largo. En otras palabras, donde X es un miembro de {Y, O} y Y un miembro de {Y, O}, (a X b Y...X c)'=(a' Y b' X...Y c'). Esto sucede porque, ' es un tipo particular de isomorfismo entre el conjunto de valores de verdad bajo conjunción ({T, F}, Y) y el conjunto de valores de verdad bajo disyunción ({T, F}, O). Especialmente tenemos que (x X y)'=(x' Y y'), y (x Y y)'=(x' X y') donde X e Y indican operaciones binarias.
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No entiendo esta notación.
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@JoseCarlosSantos: No hagas ediciones superficiales siete años después de que se haya hecho y respondido la pregunta.
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@amWhy ¿Qué tiene que ver esta pregunta con el cálculo proposicional?
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DeMorgan's theorem para (A + B + C)' es equivalente a DeMorgan's theorem para $\lnot (A\lor B \lor C)$ en cálculo proposicional. Simplemente deja de apuntarme.