¿Cuál es el teorema de De Morgan para 3 variables?

Question

Lo más relevante que encontré en Google para de Morgan's 3 variable fue: (ABC)' = A' + B' + C'.

No encontré la respuesta a mi pregunta, por lo tanto la preguntaré aquí:

¿Cuál es el teorema de De-Morgan para (A + B + C)'?

Answer 1

El teorema de DeMorgan aplicado a $(A + B + C)'$ es el siguiente:

$$(A + B + C)' = A'B'C'{}{}{}{}$$

Estamos $\;\;$NOT(A o B o C) $\;\equiv\;$ Not(A) and Not(B) and Not(C),

lo cual en álgebra booleana es equivalente a $A'B'C'$

Ambas extensiones de DeMorgan definidas para dos variables pueden ser justificadas precisamente porque podemos aplicar DeMorgan de manera anidada, y al hacerlo, reaplicar, etc., al final, es equivalente a una extensión inmediata de su aplicación a tres variables (o más) variables, siempre y cuando estén conectadas por el mismo conector, $\land, \lor$.

Por ejemplo, podemos escribir $(A+B+C)' \equiv \big(A + (B+C)\big)' \equiv \big(A' \cdot (B+C)'\big) \equiv A'\cdot (B'C') \equiv A'B'C'$.

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De hecho, siempre que tengamos una serie negada de múltiples variables todas conectadas por el MISMO conector (todas yadas o todas oradas), podemos generalizar DeMorgan incluso para más de tres variables, nuevamente, debido a la asociatividad de los conectores Y y O. Para cualquier número finito arbitrario de variables conectadas:

Entonces, $$(ABCDEFGHIJ)' = A' + B' + C' + \cdots + H' + I' + J'$$

Y $$(A + B + C + \cdots + H + I + J)' = A'B'C'D'E'F'G'H'I'J'$$

Answer 2

Este es un ejemplo en el que introducir otra variable proporciona una cierta perspectiva. Sea $D = B\lor C$.

Entonces, tenemos: $$\begin{align} \neg(A\lor B\lor C) &= \neg(A\lor D)\\ &=\neg A \land \neg D \\ &=\neg A \land \neg(B\lor C) \\ &=\neg A \land \neg B \land \neg C \end{align}$$

Por lo tanto: $$\neg(A\lor B \lor C) = \neg A \land \neg B \land \neg C$$

La idea es efectivamente la misma para aún más términos. Por lo tanto podemos tener: $$\neg(P_1 \lor P_2 \lor \cdots \lor P_n) = \neg P_1 \land \neg P_2 \land \cdots \land \neg P_n$$ ...y... $$\neg(P_1 \land P_2 \land \cdots \land P_n) = \neg P_1 \lor \neg P_2 \lor \cdots \lor \neg P_n$$ (Nota: Estoy más familiarizado con esta notación para lógica, así que la estoy usando. $\lor$ es o, $\land$ es y, y $\neg$ es no.)

Answer 3

"+" es una operación cerrada en el conjunto de verdades {T, F}. Esto significa que para cualquier par de valores de verdad "x" y "y", (x+y) puede ser asignado un valor de verdad. En consecuencia, sabemos que para ((a+b)+c)' podemos asignar un valor de verdad a (a+b) y c. (x+y)'=(x'+y') se cumple para cualquier cosa a la que podamos asignar valores de verdad "x" e "y". Por lo tanto, ((a+b)+c)'=((a+b)'+c')=((a'+b')+c').

Podemos generalizar esto a cualquier serie negada de múltiples variables conectadas por conjunción (Y) y disyunción (O), siempre y cuando cambiemos las operaciones a lo largo. En otras palabras, donde X es un miembro de {Y, O} y Y un miembro de {Y, O}, (a X b Y...X c)'=(a' Y b' X...Y c'). Esto sucede porque, ' es un tipo particular de isomorfismo entre el conjunto de valores de verdad bajo conjunción ({T, F}, Y) y el conjunto de valores de verdad bajo disyunción ({T, F}, O). Especialmente tenemos que (x X y)'=(x' Y y'), y (x Y y)'=(x' X y') donde X e Y indican operaciones binarias.