Aquí me gustaría ampliar algunos de los argumentos dados en Ron Maimón agradable respuesta.
yo) Vamos a dividir la 1D $x$-eje en tres regiones $I$, $II$, y $III$, con un potencial localizado $V(x)$ en la región media $II$ tener un tamaño compacto. (Claramente, no son físicamente relevante potenciales que no ha compacto de apoyo, por ejemplo, el potencial de Coulomb, pero esta hipótesis simplifica de la siguiente discusión.)
ii) independiente del Tiempo y monocromática. La partícula es libre en las regiones $I$$III$, por lo que podemos resolver el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger
$$\hat{H}\psi(x) ~=~E \psi(x), \qquad\qquad
\hat{H}~=~ \frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x),\qquad\qquad E> 0, \qquad\qquad (1)$$
exactamente allí. Sabemos que los de 2º orden lineal de la educación a distancia tiene dos soluciones linealmente independientes, que en las regiones libres $I$ $III$ son ondas planas
$$ \psi_{I}(x) ~=~ a^{+}_{I}(k)e^{ikx} + e^{-}_{I}(k)e^{-ikx},
\qquad\qquad k> 0,
\qquad\qquad (2) $$
$$ \psi_{III}(x) ~=~ a^{+}_{III}(k)e^{ikx} + e^{-}_{III}(k)e^{-ikx},
\qquad\qquad (3) $$
Sólo a partir de la linealidad de la ecuación de Schrödinger, incluso sin la solución de la región media $II$, sabemos que los cuatro coeficientes de $a^{\pm}_{I/III}(k)$ están limitados por dos condiciones lineales. Esta observación conduce a que, por la forma en que, a la vez independiente de la noción de la dispersión de la $S$-matriz y la transferencia de $M$-matriz
$$ \begin{pmatrix} a^{-}_{I}(k) \\ a^{+}_{III}(k) \end{pmatrix}~=~ S(k) \begin{pmatrix} a^{+}_{I}(k) \\ a^{-}_{III}(k) \end{pmatrix}.
\qquad\qquad (4) $$
$$ \begin{pmatrix} a^{+}_{III}(k) \\ a^{-}_{III}(k) \end{pmatrix}~=~ M(k) \begin{pmatrix} a^{+}_{I}(k) \\ a^{-}_{I}(k) \end{pmatrix}.
\qquad\qquad (5) $$
ver, por ejemplo, Griffiths libro, Introducción a la Mecánica Cuántica, la Sección 2.7, y esta respuesta.
iii) el Tiempo de dependencia de la onda monocromática. La relación de dispersión lee
$$ \frac{E(k)}{\manejadores} ~\equiv~\omega(k)~=~\frac{\manejadores k^2}{2m},
\qquad\qquad (6) $$
La forma específica $(6)$ de la relación de dispersión no importa en lo que sigue. El tiempo-dependiente monocromática solución en la libre de las regiones I y III se convierte en
$$ \Psi_r(x,t)
~=~ \sum_{\sigma=\pm}^{\sigma}_r(k)e^{\sigma ikx-i\omega(k)t}
~=~\underbrace{e^{-i\omega(k)t}}_{\text{fase factor}}
\Psi_r(x,0), \qquad r ~\~ \{I, III\}. \qquad (7) $$
La solución de $(7)$ es una suma de un derecho de la empresa de mudanzas ($\sigma=+$) y a la izquierda de la empresa de mudanzas ($\sigma=-$). Por ahora las palabras a la derecha y a la izquierda de la empresa de mudanzas puede ser tomado como la semántica de los nombres sin contenido físico. La solución de $(7)$ es totalmente deslocalizada en la libre de las regiones I y III, con la densidad de probabilidad $|\Psi_r(x,t)|^2$ independiente del tiempo $t$, tan ingenuamente, no tiene sentido decir que las olas son de derecha o de izquierda en movimiento, o incluso de dispersión. Sin embargo, resulta que, podemos ver la onda monocromática $(7)$ como límite de un paquete de ondas, y obtener una interpretación física de esa manera, ver la siguiente sección.
iv) paquete de Ondas. Ahora damos un paquete de ondas
$$ A^{\sigma}_r(k)~=~0 \qquad \text{para} \qquad
|k-k_0| ~\geq~ \frac{1}{L},
\qquad\sigma~\~\{\pm\}, \qquad r ~\~ \{I, III\},\qquad (8) $$
estrechamente alcanzó su punto máximo alrededor de un determinado valor de $k_0$ $k$- espacio,
$$|k-k_0| ~\leq~ K, \qquad\qquad (9)$$
donde $K$ es algún número de onda de escala, por lo que podemos Taylor ampliar la relación de dispersión
$$\omega(k)~=~ \omega(k_0) + v_g(k_0)(k-k_0) + {\cal O}\left((k-k_0)^2\right), \qquad\qquad (10) $$
y la gota de orden superior en términos de ${\cal O}\left((k-k_0)^2\right)$. Aquí
$$v_g(k)~:=~\frac{d\omega(k)}{dk}\qquad\qquad (11)$$
es la velocidad de grupo. El paquete de onda (en la libre de las regiones I y III) es una suma de una a la derecha y a la izquierda de la empresa de mudanzas,
$$ \Psi_r(x,t)~=~ \Psi^{+}_r(x,t)+\Psi^{-}_r(x,t),
\qquad\qquad r ~\~ \{I, III\},\qquad\qquad (12) $$
donde
$$ \Psi^{\sigma}_r(x,t)~:=~ \int dk~A^{\sigma}_r(k)e^{\sigma ikx-i\omega(k)t},
\qquad\qquad\sigma~\~\{\pm\}, \qquad\qquad r ~\~ \{I, III\}, $$
$$ ~\aprox~ e^{i(k_0 v_g(k_0)-\omega(k_0))t}
\int dk~A^{\sigma}_r(k)e^{ ik(\sigma x - v_g(k_0)t)}$$
$$~=~\underbrace{e^{i(k_0 v_g(k_0)-\omega(k_0))t}}_{\text{fase factor}}
~\Psi^{\sigma}_r(x-\sigma v_g(k_0)t,0).\qquad\qquad (13)$$
La derecha y la izquierda de las empresas de mudanzas $\Psi^{\sigma}$ va a ser muy larga manta de ondas de trenes de tamaños de $\geq \frac{1}{K}$, pero todavía somos capaces de identidad a través de la eq. $(13)$ su evolución en el tiempo, como acaba de
un colectivo de movimiento con velocidad de grupo $\sigma v_g(k_0)$, y
un tiempo general dependiente de la fase factor de módulo de $1$, que es el mismo para la derecha y a la izquierda de la empresa de mudanzas.
En el límite de $K \to 0$,$K >0$, la aproximación a $(10)$ se vuelve mejor y mejor, y que recuperar el tiempo independiente de la onda monocromática,
$$ A^{\sigma}_r(k) ~\longrightarrow ~a^{\sigma}_r(k_0)~\delta(k-k_0)\qquad \text{for} \qquad K\to 0. \qquad\qquad (14)$$
Por lo tanto tiene sentido asignar a un grupo de velocidad para cada una de las $\pm$ partes de la onda monocromática $(7)$, debido a que puede entenderse como un límite adecuado del paquete de ondas $(13)$.
