Si $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es convergente, entonces el $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\sin(n)$

Question

Si el $\sum_{n=1}^\infty a_n$ de la serie es convergente (absolutamente convergente o condicionalmente convergente), $$ \sum_{n=1}^\infty a_n \sin(n) $ $ también es convergente.

¿Cualquier sugerencia? hoy no estoy en mi mejor momento. Gracias de antemano.

Answer 1

Cuando la serie es convergente absouletely, la prueba es bastante sencilla ya que tenemos \sum_{n=1}^\infty $$ | a_n | \geq \sum_{n=1}^\infty | \sin(n) a_n | $$

$ |\sin(n) | \leq 1 $ n todos. Para serie condicionalmente convergente, no estoy muy seguro de cómo se puede demostrar. De hecho, para un montón de serie condicionalmente convergente, haciendo que los términos de $a_n$ puede causar la nueva serie que no convergen.

Answer 2

Sugerencia: utilizando la prueba de la serie alterna sabemos que cada monótonamente decreciente secuencia $a_n$ % no negativos $a_n$y $a_n\to 0$ la serie $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^na_n$ convergen.