¿Esto es un ejemplo de un espacio métrico?

Question

Si $X=\mathbb{R}^2$. $x=(x_1,x_2)$ $y=(y_1,y_2)$ Definir

$$d_{1/2}(x,y)=\left(|x_1-y_1|^{1/2}+|x_2-y_2|^{1/2}\right)^2\;.$$

Probar o refutar $(X,d_{1/2})$ es un espacio métrico.

Intento de una solución: después de multiplicar hacia fuera, parece hervir hasta $2|x_1-y_1|^{1/2}|x_2-y_2|^{1/2}$ satisfacer la desigualdad del triángulo. Sin embargo, yo no puedo parece probar o refutar esta una u otra manera.

Intution, sin embargo, es llevándome hacia el hecho de que en realidad no es un espacio métrico.

Answer 1

Sugerencia:

intente $x = (1,0), y = (0,1)$.

Otra forma de tener una intuición de esto es el pensamiento acerca de la unidad de la bola que define esta "norma", es decir, el conjunto de puntos cuya distancia al origen es $1$. Para varios $p$, si la norma es $( \sum_{i=1}^2 |x_i - y_i|^p )^{1/p}$, las bolas este aspecto (de Wikipedia):

¿Para qué sirven las bolas de las legítimas las normas tienen en común, ¿y esto que tiene que ver con la desigualdad de triángulo?

Answer 2

Probar la desigualdad de triángulo en cada par de $(0,0), (0,d), (d,d)$ de computación.