¿se puede representar cualquier función continua como la suma de función convexa y cóncava?

Question

He leído que cualquier función continua se puede representar como la suma de función cóncava y convexa, lo que significa para todos los $f(x)$, $f(x) = g(x) + h(x)$ $g$ Dónde está convexo y $h$ son cóncava.

Sería infinitamente muchas descomposiciones de ese tipo.

¿Alguien sabe donde puede ver una prueba o esto, o sabe de una prueba de ello?

Gracias.

Answer 1

Necesita más condiciones que incluso la absoluta continuidad. Una caracterización de continuo, convexo funciones definidas en intervalos abiertos es que deben ser de la integral indefinida de una monótona no decreciente de la función. (Ver aquí por ejemplo). En particular, esto significa que continua, las funciones convexas son absolutamente continuas.

Así que si usted toma cualquier función que es continua y no es absolutamente continua (Cantor de la caja de la escalera viene a la mente), no se puede descomponer como suma de una convexa y una cóncava de la función.

Lo más importante es que una función convexa, por Alexandrov, del teorema, debe tener una segunda derivada en casi todas partes. Por lo tanto, su función inicial debe ser incluso mejor que absolutamente continua, es necesario admitir también en casi todas partes, las segundas derivadas.

Y aun suponiendo que en casi todas partes de la segunda derivados no es suficiente, si usted toma la función de $x \sin(1/x)$ que es la analítica de distancia desde el origen, no se puede representar como la diferencia de dos funciones convexas.

Por supuesto, todavía hay una brecha entre dos veces en casi todas partes diferenciables y David Speyer en todas partes dos veces continuamente diferenciable condición. No estoy completamente seguro de que la correcta límite de la mentira, o si no hay una correcta límite utilizando sólo clásicos de la diferenciabilidad de las nociones.

Answer 2

Si es de $f$ $C^2$ (lo que significa el % de derivados $f'$y $f''$ son definidos y continua) y si se define un intervalo cerrado como $f$ $[0,1]$, entonces hay una solución fácil. $f''$ Es continua, tiene un valor mínimo de $m$. Elegir $c$ positiva y superior a $m$. Entonces es convexa, por el doble criterio de la derivada $f(x)+c x^2/2$ y $-c x^2$ es cóncava. Por supuesto, $[f(x)+c x^2/2] + [-cx^2/2] = f(x)$.

No debería ser demasiado difícil hacer una función general continua, pero no lo veo ahora.

Answer 3

Contraejemplo:

Tomar

$f(x)=x^2sin(\frac{1}{x^2})$ (con f(0)=0)

se trata de una función continua, cuyo gradiente es ilimitada como x va a 0.

g'(x) y h'(x) son monótonas y por lo tanto, acotada en [-1,1], por lo que el gradiente de g(x)+h(x) está delimitado como x va a 0.

Edición: Mirarlo otra vez, esto no parece muy riguroso, pero creo que lo sostiene.

Answer 4

Es sabido que cada continuamente diferenciable función de Lipschitz de derivados (en particular, de cada dos veces derivable la función) es la diferencia de una función convexa y una convexa de la función cuadrática en un compacto conjunto convexo (ver "la Caracterización de cero derivados puntos", J. Optimización Global, v. 46 (2010) 155-161). Por dos veces continuamente diferenciable funciones de una sola variable de esta descomposición es fácil demostrar mediante una caracterización de estructuras y la función de Weierstrass teorema de existencia.

Answer 5

Suponga $f$ a ser diferenciable. Tenemos que escribir $f'$ como la suma de no decreciente y un nonincreasing funciones de $g$$h$. Esto es posible si y sólo si $f'$ se ha acotado variación: para cada $a<b$ existe $M$ tal que para cualquier entero $n$ y cualquier $a=x_1 \lt \ldots \lt x_{n+1} = b$, $\sum_{i=1}^n |f(x_{i+1})-f(x_i)| \leq M$.

En este caso podemos definir, por $x \geq 0$, $g(x)=\mathrm{sup}_{0=x_1 \lt \ldots \lt x_{n+1}=x} \sum_{i=1}^n \left(f(x_{i+1})-f(x_i) \right)^+$ donde $y^+ = y$ si $y \geq 0$ $0$ lo contrario. Definir $g$ de manera similar en $]-\infty,0]$, e $h=f-g$. Es fácil comprobar que $g$ es no decreciente, $h$ es nonincreasing, y sus primitivas de dar el resultado.